Les nombres complexes
I. L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes. Forme algébrique d'un nombre complexe.
1) Définition des nombres complexes
Théorème 1 et définition 1.
On admet que l'on peut construire un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ tel que :
- $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$,
- $\mathbb{C}$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication dans $\mathbb{R}$ et qui obéissent aux mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$
- $\mathbb{C}$ contient un nombre, noté $i$, tel que $i^2=-1$,
- Tout élément de $\mathbb{C}$ s'écrit sous la forme $x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
Remarque. Le nombre $i$ n'appartient pas à $\mathbb{R}$ car aucun nombre réel n'a pour carré le nombre $-1$. Dit autrement, le nombre $i$ n'est pas réel. La lettre $i$ est en fait l'initiale du mot "impossible".
Explication. Dire que l'addition et la multiplication dans $\mathbb{C}$ prolongent l'addition et la multiplication dans $\mathbb{R}$ veut dire que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes qui sont en particulier tous les deux des réels alors $z+z'$ et $z\times z'$ ont respectivement pour valeur la somme habituelle des deux réels $z$ et $z'$ et le produit habituel des deux réels $z$ et $z'$.
Vocabulaire. Les éléments de $\mathbb{C}$ s'appellent les nombres complexes. L'ensemble des nombres complexes contient l'ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$) ou encore un nombre réel est un nombre complexe particulier. On rappelle au passage les différents ensembles de nombres déjà connus :
| entiers naturels |
|
entiers relatifs |
|
nombres décimaux |
|
nombres rationnels |
|
nombres réels |
|
nombres complexes |
| $$\mathbb{N}$$ |
$$\underset{\neq}{\subset}$$ |
$$\mathbb{Z}$$ |
$$\underset{\neq}{\subset}$$ |
$$\mathbb{D}$$ |
$$\underset{\neq}{\subset}$$ |
$$\mathbb{Q}$$ |
$$\underset{\neq}{\subset}$$ |
$$\mathbb{R}$$ |
$$\underset{\neq}{\subset}$$ |
$$\mathbb{C}$$ |
Exemples. Les nombres $3+2i$ ou $-i$ ou $0$ ou $\pi$ ou $1-i\sqrt{2}$ ou $3$ sont des nombres complexes.
Le nombre $2$ est un entier naturel. Le nombre $-3$ est un entier relatif qui n'est pas un entier naturel.
Le nombre $3,7$ est un nombre décimal qui n'est pas un entier relatif. Le nombre $\dfrac{1}{3}$ est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal. Le nombre $\sqrt{2}$ est un nombre réel qui n'est pas un nombre rationnel.
Le nombre $i$ est un nombre complexe qui n'est pas un nombre réel.
Forme algébrique d'un nombre complexe. Parties réelle et imaginaire
2) Forme algébrique d'un nombre complexe. Parties réelle et imaginaire.
On vérifie maintenant que l'écriture d'un nombre complexe sous la forme $x+iy$, où $x$ et $y$ sont deux réels, est unique.
Théorème 2.
- Soient $x$ et $y$ deux réels. Si $x+iy=0$ alors $x=y=0$.
- Soient $x$, $x'$, $y$ et $y'$ quatre réels. Si $x+iy=x'+iy'$ alors $x=x'$ et $y=y'$.
Démonstration.
1) Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x+iy=0$. Supposons que $y$ soit non nul.
On peut alors écrire $i=-\dfrac{x}{y}$ et en particulier, $i$ est un réel. Ceci est faux et il était donc absurde de supposer $y$ non nul. On en déduit que $y=0$ puis que $x=0$.
2) Soient $x$, $x'$, $y$ et $y'$ quatre réels tels que $x+iy=x'+iy'$. Alors $(x-x')+i(y-y')=0$. Comme les nombres $x-x'$ et $y-y'$ sont deux réels, le résultat 1) permet d'affirmer que $x-x'=y-y'=0$ puis que $x=x'$ et $y=y'$.
Le théorème précédent signifie entre autres que l'écriture d'un nombre complexe sous la forme $x+iy$ est unique.
On peut réexprimer ce résultat en disant que si $x$, $y$, $x'$ et $y'$ sont quatre réels tels que $x+iy=x'+iy'$, alors on peut identifier les coefficients et donc écrire $x=x'$ et $y=y'$.
Danger. Dans le théorème précédent, il est essentiel que $x$ et $y$ soient des réels.
Par exemple, $1$$+$$i$$\times i=0=$ $0$$+$$0$$\times i$ et pourtant $1\neq0$ et $i\neq0$.
Ce qui précède justifie les définitions suivantes :
Définition 2.
L'écriture d'un nombre complexe sous la forme $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels s'appelle la forme algébrique d'un nombre complexe.
Si $x$ et $y$ sont deux réels, le nombre $x$ est la partie réelle de $x+iy$ et le nombre $y$ est la partie imaginaire de $x+iy$.
Notation.Si $z$ est un nombre complexe, sa partie réelle se note $\text{Re}(z)$ et sa partie imaginaire se note $\text{Im}(z)$. On peut donc écrire
$$\text{pour tout nombre complexe}\;z,\;z=\text{Re}(z)+i\;\text{Im}(z).$$
Exemples. La partie réelle de $3-2i$ est $3$ et la partie imaginaire de $3-2i$ est $-2$. La partie réelle de $5i$ est $0$ et la partie imaginaire de $5i$ est $5$. La partie réelle de $4$ est $4$ et la partie imaginaire de $4$ est $0$.
Remarque. La partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe sont deux nombres réels.
Par exemple, la partie imaginaire de $3+2i$ est $2$ et n'est pas $2i$.
Définition 3.
Les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres réels.
Les nombres complexes dont la partie réelle est nulle sont les imaginaires purs.
Dit autrement, pour tout nombre complexe $z$,
- 1) $z$ est réel $\Leftrightarrow\text{Im}(z)=0$,
- 2) $z$ est imaginaire pur $\Leftrightarrow\text{Re}(z)=0$.
Remarque. Le nombre $0$ est à la fois réel et imaginaire pur. C'est d'ailleurs le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.
Les nombres non réels du type $3-2i$ sont quelquefois appelés « nombres imaginaires » mais ce vocabulaire est en contradiction avec le fait d'avoir classé le nombre réel $0$ parmi les imaginaires purs.
3) Opérations sur les nombres complexes
a) Définition des opérations dans $\mathbb{C}$
Définition 4.
On définit l'addition et la multiplication des nombres complexes de la façon suivante :
- Pour tous réels $x$, $x'$, $y$ et $y'$, $(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i(y+y')$.
- Pour tous réels $x$, $x'$, $y$ et $y'$, $(x+iy)\times(x'+iy')=(xx'-yy'')+i(xy'+yx')$.
Remarque. Quand $x=x'=0$ et $y=y'=1$, on obtient $i^2=(0+1\times i)(0+1\times i)=(-1)+0\times i=-1$.
Théorème 3.
L'addition et la multiplication dans $\mathbb{C}$ obéissent aux mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ :
- Pour tous complexes $z$ et $z'$, $z+z'=z'+z$ et $z\times z'=z'\times z$.
- Pour tous complexes $z$, $z'$ et $z''$, $(z+z')+z''=z+(z'+z'')$ et $(z\times z')\times z''=(z\times z')\times z''$.
- Pour tout complexe $z$, $z+0=z$ et $z\times 1=z$.
- Pour tout complexe $z$, $z+(-z)=0$.
- Pour tous complexes $z$, $z'$ et $z''$, $(z+z')\times z''=z\times z''+z'\times z''$.
- Pour tout complexe $z$, $z\times0=0$.
Démonstration. Certains des résultats précédents sont immédiats. D'autres sont fastidieux à démontrer.
Nous ne démontrerons ici que le 5).
Soient $z$, $z'$ et $z''$ trois nombres complexes. Posons $z=x+iy$, $z'=x'+iy'$ et $z''=x''+iy''$ où $x$, $x'$, $x''$, $y$, $y'$ et $y''$ sont six réels.
\begin{align*}\
z\times z''+z'\times z''&=(x+iy)(x''+iy'')+(x'+iy')(x''+iy'')\\
&=(xx''-yy'')+i(xy''+yx'')+(x'x''-y'y'')+i(x'y''+y'x'')\\
&=xx''+x'x''-yy''-y'y''+i(xy''+x'y''+yx''+y'x'')\\
&=((x+x')x''-(y+y')y'')+i((x+x')y''+(y+y')x'')=((x+x')+i(y+y'))(x''+iy'')\\
&=(z+z')z''.
\end{align*}
Dans la liste des propriétés énoncées plus haut, il manque un résultat sur l'inverse d'un nombre complexe non nul.
Nous analyserons le problème de l'existence de l'inverse d'un nombre complexe non nul dans le paragraphe suivant.
Puisque les règles de calcul sont les mêmes dans $\mathbb{C}$ que dans $\mathbb{R}$, on a aussi à disposition des identités remarquables :
Théorème 4.
- Pour tous complexes $z$ et $z'$, $(z+z')^2=z^2+2zz'+z'^2$.
- Pour tous complexes $z$ et $z'$, $(z-z')^2=z^2-2zz'+z'^2$.
- Pour tous complexes $z$ et $z'$, $(z-z')(z+z')=z^2-z'^2$.
- Pour tous complexes $z$ et $z'$, $(z+z')^3=z^2+3z^2z'+3zz'^2+z'^3$.
- Pour tous complexes $z$ et $z'$, $(z-z')^3=z^2-3z^2z'+3zz'^2-z'^3$.
Démonstration. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.
1) et 2) $(z+z')^2=(z+z')\times(z+z')=z^2+zz'+z'z+z'^2=z^2+2zz'+z'^2$ puis en remplaçant $z'$ par $-z'$, on obtient $(z-z')^2=(z+z')\times(z+z')=z^2-2zz'+z'^2$.
3) $(z-z')(z+z')=z^2+zz'-zz'-z'^2=z^2-z'^2$.
4) et 5)
\begin{align*}\
(z+z')^3&=(z+z')^2\times(z+z')=(z^2+2zz'+z'^2)(z+z')=z^3+2z^2z'+z'^2z+z^2z'+2zz'^2+z'^3\\
&=z^2+3z^2z'+3zz'^2+z'^3,
\end{align*}
puis en remplaçant $z'$ par $-z'$, on obtient $(z-z')^3=z^2-3z^2z'+3zz'^2-z'^3$.
Exercice 1. Calculer les nombres complexes suivants :
- $z_1=3+2i-4+4i+2(7-i)$.
- $z_2=(3-i)(4+3i)$.
- $z_3=(4-i)^2-(1+2i)(1-i)$.
Solution.
1) $z_1=3+2i-4+4i+2(7-i)=(3-4+14)+i(2+4-2)=13+4i$.
2) $z_2=(3-i)(4+3i)=12+9i-4i-3i^2=12+5i-3=9+5i$.
3) \begin{align*}
z_3&=(4-i)^2-(1+2i)(1-i)=(16-8i+i^2)-(1-i+2i-2i^2)=(16-8i-1)-(1-i+2i+2)\\
&=(15-8i)-(3+i)=15-8i-3-i=12-9i.
\end{align*}
Commentaire. 1) L'expression « calculer le nombre complexe » signifie : obtenir la forme algébrique de ce nombre complexe, forme sous laquelle on peut lire sa partie réelle et sa partie imaginaire.
2) Les calculs précédents montrent bien la première difficulté que l'on rencontre quand on calcule avec des nombres complexes : l'égalité $i^2=-1$ qui est cause de nombreuses erreurs de signe. Nous vous conseillons d'être patient ou patiente et, dans un premier temps, de faire beaucoup d'étapes de calcul, l'idéal étant de ne faire qu'une seule chose par étape. Le professionalisme viendra plus tard.
b) Inverse d'un nombre complexe non nul
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On va montrer ci-dessous que $z$ admet un inverse (c'est-à-dire que $\dfrac{1}{z}$ existe) et on va apprendre à déterminer cet inverse. Pour cela, on donne d'abord une nouvelle identité remarquable dans $\mathbb{C}$, utile par la suite.
Théorème 5.
Pour tous réels $x$ et $y$, $(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$.
Démonstration. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels.
$$(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy)^2=x^2-i^2y^2=x^2+y^2.$$
Remarque. L'identité précédente se lit aussi de droite à gauche : $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$. Dans $\mathbb{R}$, on a pas de factorisation intéressante de $x^2+y^2$ mais ce n'est plus le cas dans $\mathbb{C}$.
On peut maintenant démontrer que tout nombre complexe non nul a un inverse et donner cet inverse :
Théorème 6.
Soit $z$ un nombre complexe non nul. Il existe un nombre complexe $z'$ tel que $z\times z'=1$.
$z'$ est l'inverse de $z$ ou encore $z'=\dfrac{1}{z}$.
De plus, si on pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels, alors $\dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}$.
Démonstration. Soit $z$ un nombre complexe non nul. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.
Puisque $z$ n'est pas nul, l'un au moins des deux réels $x$ ou $y$ n'est pas nul. On en déduit que $x^2$ et $y^2$ sont deux réels positifs, l'un au moins de ces deux réels étant strictement positif puis que $x^2+y^2$ est un réel strictement positif. En particulier, le réel $x^2+y^2$ n'est pas nul.
On divise alors les deux membres de l'identité remarquable du théorème 5 par le réel non nul $x^2+y^2$ et on obtient $$(x+iy)\times\left(\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)=1,$$ ce qui démontre le résultat.
La démonstration du théorème précédent fournit implicitement le procédé utilisé dans la pratique pour calculer
l'inverse de $x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels tels que $x+iy\neq0$ :
$$\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}.$$
On a multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{1}{x+iy}$ par le nombre $x-iy$ (le nombre $x-iy$
s'appelle le conjugué du nombre $x+iy$ et sera étudié au paragraphe III). L'effet de cette transformation est de
rendre réel le dénominateur. Une fois ce travail effectué, on a effectivement calculé le nombre $\dfrac{1}{x+iy}$ car on
peut maintenant donner sa partie réelle $\dfrac{x}{x^2+y^2}$ et sa partie imaginaire $-\dfrac{y}{x^2+y^2}$.
A connaître. Puisque $i\times(-i)=-i^2=1$,
$${\Large \dfrac{1}{i}=-i\;\text{et}\;\dfrac{1}{-i}=i.}$$
Exercice 2. Calculer les nombres complexes suivants :
- $z_1=\dfrac{1}{3-2i}$.
- $z_2=\dfrac{4+i}{1+2i}$.
Solution.
- $z_1=\dfrac{1}{3-2i}=\dfrac{3+2i}{(3-2i)(3+2i)}=\dfrac{3+2i}{3^2+(-2)^2}=\dfrac{3+2i}{13}=\dfrac{3}{13}+\dfrac{2}{13}i$.
- $z_2=\dfrac{4+i}{1+2i}=\dfrac{(4+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{4-8i+i-2i^2}{1^2+2^2}=\dfrac{6-7i}{5}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{7}{5}i$.
Théorème 7.
Dans $\mathbb{C}$, un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Démonstration. Tout d'abord, pour tout nombre complexe $z$, $z\times 0=0$.
Réciproquement, soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tels que $z\times z'=0$. Si $z\neq0$, alors $\dfrac{1}{z}$ existe puis
$$z\times z'=0\Rightarrow\dfrac{1}{z}\times z\times z'=\dfrac{1}{z}\times0\Rightarrow z'=0.$$
Ainsi, si $z\times z'=0$, l'un des deux nombres complexes $z$ ou $z'$ est forcément nul.
c) Equations du premier degré dans $\mathbb{C}$
Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes tels que $a\neq0$ et soit $(E)$ l'équation $az+b=0$ d'inconnue $z$.
Pour résoudre cette équation du premier degré dans $\mathbb{C}$, on ne pose pas $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels pour chercher ensuite $x$ et $y$ mais on cherche directement le nombre complexe $z$ :
$$az+b=0\Leftrightarrow az+b-b=0-b\Leftrightarrow az=-b\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}\times a\times z=\dfrac{1}{a}\times(-b)\Leftrightarrow z=-\dfrac{b}{a}.$$
Exercice 3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
- $(3-i)z+1+5i=0$
- $((4-3i)z-5)((1+i)z+1-i)=0$.
Solution
1) Soit $z$ un nombre complexe.
\begin{align*}\
(3-i)z+1+5i=0&\Leftrightarrow(3-i)z=-1-5i\Leftrightarrow z=\dfrac{-1-5i}{3-i}\Leftrightarrow z=\dfrac{(-1-5i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{-3-i-15i+5}{3^2+(-1)^2}\Leftrightarrow z=\dfrac{2-16i}{10}\Leftrightarrow z=\dfrac{1-8i}{5}\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{5}-\dfrac{8}{5}i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{1}{5}-\dfrac{8}{5}i\right\}$.
2) Soit $z$ un nombre complexe.
$$((4-3i)z-5)((1+iz)+1-i)=0\Leftrightarrow (4-3i)z-5=0\;\text{ou}\;(1+i)z+1-i=0.$$
\begin{align*}
(4-3i)z-5=0&\Leftrightarrow z=\dfrac{5}{4-3i}\Leftrightarrow z=\dfrac{5(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{5(4+3i)}{4^2+(-3)^2}\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{5(4+3i)}{25}\Leftrightarrow z=\dfrac{4+3i}{5}\Leftrightarrow z=\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}i.
\end{align*}
et
\begin{align*}
(1+i)z+1-i=0&\Leftrightarrow z=\dfrac{-1+i}{1+i}\Leftrightarrow z=\dfrac{(-1+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{-1+i+i+1}{1^2+1^2}\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{2i}{2}\Leftrightarrow z=i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{i,\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}i\right\}$.
Exercice 4. Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z)=\dfrac{(1+2i)z-1}{(3+i)z-1}$.
- Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z)=0$.
Solution.
1) On note $D_f$ le domaine de définition de la fonction $f$.
Soit $z$ un nombre complexe. $f(z)$ existe si et seulement si $(3+i)z-1\neq0$. Or
\begin{align*}
(3+i)z-1=0&\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{3+i}\Leftrightarrow z=\dfrac{3-i}{(3+i)(3-i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{3-i}{10}\Leftrightarrow z=\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}i.
\end{align*}
Donc $D_f=\mathbb{C}\setminus\left\{\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}i\right\}$.
2) Soit $z$ un nombre complexe.
\begin{align*}\
f(z)=0&\Leftrightarrow \dfrac{(1+2i)z-1}{(3+i)z-1}=0\Leftrightarrow (1+2i)z-1=0\;\text{et}\;(3+i)z-1\neq0\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{1+2i}\;\text{et}\;z\neq\dfrac{3-i}{10}\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{1-2i}{(1+2i)(1-2i)}\;\text{et}\;z\neq\dfrac{3-i}{10}\Leftrightarrow z=\dfrac{1-2i}{5}\;\text{et}\;z\neq\dfrac{3-i}{10}\\
&\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation proposée est $\left\{\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\right\}$.
