Chapitre 3. Suites réelles

1) Différents modes de description d'une suite. Représentation graphique

a) Suites du type $u_n=f(n)$

Une suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres réels peut être décrite par une formule du type

où $f$ est une certaine fonction. Dans ce cas, on obtient directement la valeur d'un terme donné en remplaçant $n$ par une valeur précise. Par exemple, si pour tout entier naturel $n$, $u_n=n^2-4n+3$, on obtient directement la valeur de $u_3$ en remplaçant $n$ par $3$ :

Si on veut représenter graphiquement une telle suite, on place dans le plan rapporté à un repère orthonormé les points de coordonnées $(0,u_0)$, $(1,u_1)$, $(2,u_2)$ et de manière générale « tous » les points de coordonnées $(n,u_n)$, $n\in\mathbb{N}$. On peut éventuellement s'aider du graphe de la fonction $f$. Par exemple, la représentation graphique de la suite définie par $u_n=\dfrac{n^2-4n+3}{5}$, $n\in\mathbb{N}$, est :

b) Suites du type $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$

Une suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres réels peut aussi être décrite par la donnée de son premier terme $u_0$ et une formule du type

Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est définie par une relation de récurrence. Si on veut connaître la valeur de $u_3$, on doit connaître la valeur de $u_2$ et si on veut connaître la valeur de $u_2$, on doit connaître la valeur de $u_1$ et si on veut connaître la valeur de $u_1$, on doit connaître la valeur de $u_0$. On part donc de $u_0$ puis on calcule les termes de la suite l'un après l'autre, de proche en proche.

Par exemple, si $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est la suite définie par :

Si on veut $u_2$, on calcule d'abord $u_1$. Pour obtenir $u_1$, on remplace $n$ par $0$ dans la relation de récurrence et on obtient $u_1=\dfrac{u_0^2-4u_0+3}{5}=\dfrac{7^2-4\times7+3}{5}=\dfrac{24}{5}=4,8$. Pour obtenir $u_2$, on remplace $n$ par $1$ dans la relation de récurrence et on obtient $u_2=\dfrac{u_1^2-4u_1+3}{5}=\dfrac{4,8^2-4\times4,8+3}{5}=1,368$.

On veut maintenant représenter graphiquement la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

• On commence par construire la courbe représentative de $f$ notée $(\mathscr{C}_f)$ ainsi que la droite $(\mathscr{D})$ d'équation $y=x$.


• On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.


• On veut maintenant lire le nombre $u_1=f(u_0)$ sur le graphique. Pour cela, on trace un trait vertical du point de l'axe des abscisses d'abscisse $u_0$ à $(\mathscr{C}_f)$ c'est-à-dire le segment joignant les points de coordonnées $(u_0,0)$ et $(u_0,f(u_0))=(u_0,u_1)$. On peut alors lire $u_1$ horizontalement sur l'axe des ordonnées.


• On veut maintenant lire $u_2=f(u_1)$. Pour cela, on doit d'abord ramener le nombre $u_1$ sur l'axe $(Ox)$ en traçant le trait horizontal joignant le point de coordonnées $(u_0,u_1)$ et la droite $(\mathscr{D})$ c'est-à-dire le segment joignant les points de coordonnées $(u_0,u_1)$ et $(u_1,u_1)$. On peut maintenant lire $u_1$ sur l'axe $(Ox)$.


• On veut maintenant lire le nombre $u_2=f(u_1)$. Le trait plein est pour l'instant arrêté au point de la droite $\mathscr{D}$ de coordonnées $(u_1,u_1)$ et on lira $u_2=f(u_1)$ en traçant le trait vertical joignant le point de coordonnées $(u_1,u_1)$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ c'est-à-dire le point de coordonnées $(u_1,u_1)$ au point de coordonnées $(u_1,f(u_1))=(u_1,u_2)$. On peut alors lire le nombre $u_2$ en allant horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées.


• On ramène le nombre $u_2$ sur l'axe des abscisses en traçant le trait horizontal joignant le point de coordonnées $(u_1,u_2)$ au point de $\mathscr{D}$ de coordonnées $(u_2,u_2)$. On peut alors lire $u_2$ sur l'axe $(Ox)$.


• et ainsi de suite : verticalement jusqu'à la courbe, horizontalement jusqu'à la droite, verticalement jusqu'à la courbe, horizontalement jusqu'à la droite, …

2) Suites majorées, suites minorées, suites bornées

Les réels $m$ et $M$ fournis dans la définition précédente sont des réels indépendants de $n$. Les réels $m$ et $M$ ne varient pas quand $n$ varie. Ainsi, si on écrit : pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant 3$, le nombre $3$ est un majorant de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et on a majoré la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ au sens de la définition précédente. Mais si on écrit : pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant n$, on n'a pas majoré la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ au sens de la définition précédente.

Solution. Soit $n$ un entier naturel naturel. \begin{align*} n\geqslant0\Rightarrow-3n\leqslant0\Rightarrow-3n+4\leqslant0+4\Rightarrow u_n\leqslant4. \end{align*} Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant 4$. On en déduit que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée par le nombre $4$.

Solution. Soit $n$ un entier naturel naturel.

Puisque $\dfrac{n}{5(n+5)}\geqslant0$, on en déduit que $u_n-\dfrac{14}{5}\geqslant0$ et donc que $u_n\geqslant\dfrac{14}{5}$. Ensuite,

Puisque $-\dfrac{1}{5(n+5)}<0$, on en déduit que $u_n-3<0$ et donc que $u_n<3$.

On a montré que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{14}{5}\leqslant u_n<3$. En particulier, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée.

Commentaire. Dans l'exercice 2, nous avons dû montré que $u_n<3$. Le problème initial est délicat car dans l'écriture $u_n=\dfrac{3n+14}{n+5}$, la lettre $n$ apparaît plusieurs fois, contrairement à l'exercice 1. Si on cherche à écrire directement des inégalités, on peut tenter : $n\geqslant0\Rightarrow 3n+14\geqslant14$ et $n\geqslant0\Rightarrow n+5\geqslant5$. Mais il n'y a rien à tirer de ces inégalités. Quand on écrit que le numérateur $3n+14$ vaut au minimum $14$, on devrait se diriger vers un résultat du type : la fraction $\dfrac{3n+14}{n+5}$ vaut au minimum un certain nombre. Mais quand on écrit que le dénominateur $n+5$ vaut au minimum $5$, on devrait se diriger vers un résultat du type : la fraction $\dfrac{3n+14}{n+5}$ vaut au maximum un certain nombre et on ne parvient pas à utiliser les deux inégalités en même temps. On doit se rappeler que

Nous avons donc calculé les deux différences $u_n-\dfrac{14}{5}$ et $u_n-3$ puis nous avons précisé le signe de ces deux différences.

3) Sens de variation d'une suite

1. Définitions

Définition 2.

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombre réels.


1. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\geqslant u_{n}$.
2. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.
3. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est constante si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n$. Ceci équivaut au fait que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est à la fois croissante et décroissante.
4. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}> u_{n}$.
5. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}< u_{n} $.
6. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone si et seulement si ou bien la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante, ou bien la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.
7. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement monotone si et seulement si ou bien la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante, ou bien la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

Exemple 1. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : pour tout entier naturel $n$, $u_n=-3n+5$. Pour tout entier naturel,

$n< n+1\Rightarrow-3n>-3(n+1)\Rightarrow-3n+5>-3(n+1)+5\Rightarrow u_n>u_{n+1}$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n>u_{n+1}$ ou encore pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}< u_n$. La suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est donc une suite strictement décroissante.

Exemple 2. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : pour tout entier naturel $n$, $u_n=(-1)^n\times n$. $u_0=0$ et $u_1=-1$. En particulier, $u_0>u_1$ et donc la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas croissante. Mais $u_1=-1$ et $u_2=2$. En particulier, $u_1< u_2$ et donc la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas décroissante.

En résumé, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est ni croissante, ni décroissante ou encore la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas monotone.




Théorème 1.

Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.
(pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\;=u_n$) $\Leftrightarrow$ (pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0$).


Démonstration. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels.

Si pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0$, alors pour tout entier naturel $u_n=u_0$ et $u_{n+1}=u_0$ puis $u_{n+1}=u_n$.

Réciproquement, supposons que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n$. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel, $u_n=u_0$.

• Le résultat est vrai pour $n=0$.
• Soit $n\geqslant0$. Supposons que $u_n=u_0$. Alors, puisque $u_{n+1}=u_n$, on a aussi $u_{n+1}=u_0$.

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0$.




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Théorème 2.

1. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite croissante de nombres réels.
   
   Pour tout entier naturel $p$ et tout entier naturel $n\geqslant p$, on a $u_n\geqslant u_p$.
   En particulier, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geqslant u_0$.


2. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite décroissante de nombres réels.
   
   Pour tout entier naturel $p$ et tout entier naturel $n\geqslant p$, on a $u_n\leqslant u_p$.
   En particulier, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leqslant u_0$.


Démonstration.

1. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite croissante de nombres réels. Soit $p$ un entier naturel.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant p$, $u_n\geqslant u_p$.

• Le résultat est vrai pour $n=p$.
• Soit $n\geqslant p$. Supposons que $u_n\geqslant u_p$. Alors, puisque $u_{n+1}\geqslant u_n$ et que $u_n\geqslant u_p$, on a aussi $u_{n+1}\geqslant u_p$.

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant p$, $u_n\geqslant u_p$.

En particulier, quand $p=0$, on obtient : pour tout $n\geqslant 0$, $u_n\geqslant u_0$.

Enfin, les résultats du 2), s'obtiennent en remplaçant le symbole $\geqslant$ par le symbole $\leqslant$.




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2. Quelques techniques pour étudier le sens de variation d'une suite

Technique 1. Quand l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ ne contient qu'une seule fois la lettre $n$, on part de l'inégalité $n< n+1$ puis par opérations successives, on parvient à une inégalité entre $u_n$ et $u_{n+1}$.

Exercice 3. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel $n$, $u_n=4-\dfrac{17}{\sqrt{2^n+1}}$. Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Solution. Soit $n$ un entier naturel.

\begin{align*} n< n+1&\Rightarrow2^n< 2^{n+1}\Rightarrow2^n+1< 2^{n+1}+1\\ &\Rightarrow\sqrt{2^n+1}< \sqrt{2^{n+1}+1}\;(\text{car la fonction}\;x\mapsto\sqrt{x}\;\text{est strictement croissante sur}\;[0,+\infty[)\\ &\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2^n+1}}>\dfrac{1}{\sqrt{2^{n+1}+1}}\;(\text{car}\;\sqrt{2^n+1}>0\;\text{et la fonction}\;x\mapsto\dfrac{1}{x}\;\text{est strictement décroissante sur}\;]0,+\infty[)\\ &\Rightarrow -\dfrac{17}{\sqrt{2^n+1}}<-\dfrac{17}{\sqrt{2^{n+1}+1}}\Rightarrow 4-\dfrac{17}{\sqrt{2^n+1}}< 4-\dfrac{17}{\sqrt{2^{n+1}+1}}\\ &\Rightarrow u_n< u_{n+1}. \end{align*}

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n< u_{n+1}$. On en déduit que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.




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Technique 2. On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.

Remarque. La technique 2 est technique la plus fréquemment utilisée dans la pratique.

Exercice 4. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{3^n}{(n+1)^2}$. Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Solution. Soit $n$ un entier naturel naturel.

\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3^{n+1}}{(n+2)^2}-\dfrac{3^n}{(n+1)^2}=\dfrac{3^{n+1}(n+2)^2-3^n(n+1)^2}{(n+1)^2(n+2)^2}=3^n\dfrac{3(n+2)^2-(n+1)^2}{(n+1)^2(n+2)^2}\\ &=3^n\dfrac{3(n^2+4n+4)-(n^2+2n+1)}{(n+1)^2(n+2)^2}=3^n\dfrac{3n^2+12n+12-n^2-2n-1}{(n+1)^2(n+2)^2}\\ &=3^n\dfrac{2n^2+10n+11}{(n+1)^2(n+2)^2}. \end{align*}

Puisque $n$ est un entier naturel, on a $2n^2+10n+11>0$ puis $u_{n+1}-u_n>0$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ ou encore $u_{n+1}>u_n$. On en déduit que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

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Exercice 5. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
$u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$.
1. Représenter graphiquement la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe et $1\leqslant u_n<3$.
3. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n+1)(3-u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}$.
   2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Solution.

1. Représentation graphique de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.
2. 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe et $1\leqslant u_n<3$.
   • Puisque $u_0=1$, le résultat est vrai quand $n=0$.
   • Soit $n\geqslant 0$. Supposons que $u_n$ existe et que $1\leqslant u_n<3$ et montrons que $u_{n+1}$ existe et que $1 \leqslant u_{n+1}<3$.

     Puisque $u_n$ existe et que $u_n\geqslant1$, on a en particulier $2u_n+3\geqslant0$. Mais alors $u_{n+1}$ existe. Ensuite,

     \begin{align*} 1\leqslant u_n<3&\Rightarrow2\times1+3\leqslant2u_n+3<2\times3+3\Rightarrow5\leqslant2u_n+3<9\\ &\Rightarrow\sqrt{5}\leqslant \sqrt{2u_n+3}<\sqrt{9}\;(\text{car la fonction}\;x\mapsto\sqrt{x}\;\text{est strictement croissante sur}\;[0,+\infty[)\\ &\Rightarrow\sqrt{5}\leqslant u_{n+1}<3\\ &\Rightarrow1\leqslant u_{n+1}<3\;(\text{car}\;\sqrt{5}\geqslant1). \end{align*}

   On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe et $1\leqslant u_n<3$.

3. 1. Soit $n$ un entier naturel. Puisque $u_n\geqslant1$, $\sqrt{2u_n+3}+u_n$ est un nombre supérieur ou égal à $1$ et en particulier $\sqrt{2u_n+3}+u_n$ n'est pas nul. Ensuite,
   \begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\sqrt{2u_n+3}-u_n=\dfrac{\left(\sqrt{2u_n+3}-u_n\right)\left(\sqrt{2u_n+3}+u_n\right)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}=\dfrac{\left(\sqrt{2u_n+3}\right)^2-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\\ &=\dfrac{-u_n^2+2u_n+3}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}=\dfrac{(u_n+1)(3-u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}, \end{align*}

   car $(3-u_n)(u_n+1)=3u_n+3-u_n^2-u_n=-u_n^2+2u_n+3$.

   2. Soit $n$ un entier naturel. Puisque $1\leqslant u_n<3$, $3-u_n>0$, $u_n+1>0$ et $\sqrt{2u_n+3}+u_n>0$. Par suite, $\dfrac{(3-u_n)(u_n+1)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}>0$ ou encore $u_{n+1}-u_n>0$.

   On a montré que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ ou encore $u_n< u_{n+1}$ et donc que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

Technique 3. Si $u_n$ est défini par des produits et des quotients et si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement positive, on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ au nombre $1$.

Exercice 6. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$ où $n!=1\times2\times\ldots\times n$. Etudier les sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.

Solution. Soit $n$ un entier naturel non nul. $u_n\neq0$ puis

\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times\dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}\times\dfrac{n!}{(n+1)!}=2\times\dfrac{1\times2\times\ldots\times(n-1)\times n}{1\times2\times\ldots\times(n-1)\times n\times(n+1)}\\ &=\dfrac{2}{n+1}, \end{align*} puis $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1=\dfrac{2}{n+1}-1=\dfrac{2-(n+1)}{n+1}=\dfrac{1-n}{n+1}$.

Puisque $n\geqslant 1$, $1-n\leqslant0$ puis $\dfrac{1-n}{n+1}\leqslant0$ puis $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1\leqslant0$ et donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant1$.

Puisque $u_n>0$, on en déduit que $u_{n+1}\leqslant u_n$.

Ainsi, pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$. On en déduit que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante.

Plus précisément, pour tout $n\geqslant 2$, $1-n<0$ puis $u_{n+1}< u_n$. La suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est donc strictement décroissante à partir du rang $2$.




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Technique 4. Si la suite est du type $u_n=f(n)$, $n\in\mathbb{N}$, où $f$ est une certaine fonction définie sur $[0,+\infty[$, on peut utiliser les variations de la fonction $f$ pour préciser les variations de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

Les variations de la fonction $f$ peuvent être obtenues à partir du signe de la dérivée de la fonction $f$ si cette fonction est dérivable. Cependant, attention ! On dérive une fonction mais

{\Large on ne dérive pas une suite.}
Exercice 7. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\dfrac{n^2+4n+2}{n+1}$. Etudier les sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Solution. Pour tout réel positif $x$, posons $f(x)=\dfrac{x^2+4x+2}{x+1}$ de sorte que pour tout entier naturel $n$, $u_n=f(n)$. La fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $[0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $[0,+\infty[$ et pour tout réel $x\geqslant0$,

\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x+4)\times(x+1)-(x^2+4x+2)\times1}{(x+1)^2}=\dfrac{(2x^2+2x+4x+4)-(x^2+4x+2)}{(x+1)^2}\\ &=\dfrac{2x^2+6x+4-x^2-4x-2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}. \end{align*}

La dérivée $f'$ de $f$ est une fonction strictement positive sur $[0,+\infty[$. On en déduit que la fonction $f$ est une fonction strictement croissante sur $[0,+\infty[$. Puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, pour tout entier naturel $n$ on a

$0\leqslant n< n+1\Rightarrow f(n)< f(n+1)\Rightarrow u_n< u_{n+1}$.

Ainsi, tout entier naturel $n$, $u_{n}


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3. Sens de variation d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique

   Théorème 3.

   Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$.

   • Si $r>0$, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
   • Si $r<0$, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.
   • Si $r=0$, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est constante.
   
   
   Démonstration. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raion $r$.

   Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=r$. Donc,

   • si $r>0$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n>0$ et donc la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante ;
   • si $r<0$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n<0$ et donc la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante ;
   • si $r=0$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=0$ et donc la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est constante.
   
   

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   Théorème 4.

   Soit $q$ un réel strictement positif.

   • Si $q>1$, la suite géométrique $\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
   • Si $0
   • Si $q=1$, la suite géométrique $\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est constante.
   
   
   Démonstration. Soit $q$ un réel strictement positif.

   Pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{q^{n+1}}{q^n}=q$. Donc,

   • si $q>1$, alors pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{q^{n+1}}{q^n}>1$ puis $q^{n+1}>q^n$ car $q^n>0$. On en déduit que la suite $\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante ;
   • si $00$. On en déduit que la suite $\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante ;
   • si $q=1$, alors pour tout entier naturel $n$, $q^{n}=1$ et donc la suite $\left(q^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est constante.

1) Définition de la convergence d'une suite

Interprétation graphique. On place $\ell$ sur l'axe des ordonnées puis on se donne un intervalle ouvert $I$ quelconque contenant $\ell$. A partir d'un certain rang $p$ dépendant de l'intervalle $I$ que l'on s'est donné, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $I$. Pour n'importe que intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, aussi petit soit-il, on peut fournir un tel rang $p$.

Notation. Quand la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers le réel $\ell$, on écrit $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$.

Exemple 1. Montrons en revenant à la définition que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2n+1}{n+3}=2$. Pour $n\in\mathbb{N}$, posons $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$.

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. On note $I$ l'intervalle $]2-\varepsilon,2+\varepsilon[$.

Soit $n$ un entier naturel.

Soit $p$ un entier strictement supérieur à $\dfrac{5}{\varepsilon}-3$ (si $\dfrac{5}{\varepsilon}-3<0$, on peut prendre $p=0$ et si $\dfrac{5}{\varepsilon}-3\geqslant0$, on peut prendre

Pour tout entier naturel $n$ tel que $n\geqslant p$, on a encore $n>\dfrac{5}{\varepsilon}-3$ et donc $u_n\in I$. Ainsi, tout intervalle ouvert de centre $2$ contient tous les termes de la suite $\left(\dfrac{2n+1}{n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang et donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2n+1}{n+1}=2$.

Exemple 2. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : pour tout entier naturel $n$, $u_n=(-1)^n$. Montrons que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge. On va montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut converger vers aucun réel $\ell$.

Soit $\ell$ un réel. Il y a cinq cas possibles concernant $\ell$ : 1) $\ell>1$, 2) $\ell=1$, 3) $-1<\ell<1$, 4) $\ell=-1$, 5) $\ell<-1$. On va montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut pas converger vers $\ell$ dans les deux premiers cas, les autres cas se traitant de manière similaire.

• Supposons $\ell>1$ et montrons que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut pas converger vers $\ell$.

La distance de $1$ à $\ell$ est $\ell-1$. C'est un réel strictement positif. Le milieu du segment $[1,\ell]$ est $\dfrac{1+\ell}{2}$. La distance de ce milieu à $1$ ou $\ell$ est $\dfrac{\ell-1}{2}$. Soit $I=\left]\ell-\dfrac{\ell-1}{2},\ell+\dfrac{\ell-1}{2}\right[=\left]\dfrac{1+\ell}{2},\dfrac{3\ell-1}{2}\right[$.

La suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ et l'intervalle $I$ est constitué de réels tous strictement plus grands que $1$ (car $\dfrac{1+\ell}{2}>\dfrac{1+1}{2}=1$). Donc, l'intervalle $I$ est un intervalle ouvert de centre $\ell$ ne contenant aucun terme de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et en particulier ne contenant aucun terme de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang. Ceci montre que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut pas converger vers $\ell$.<:p>

• Supposons $\ell=1$ et montrons que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ne peut pas converger vers $\ell$.

Soit $I=]0,2[$. $I$ est un intervalle ouvert de centre $1$. Vérifions qu'il n'existe pas de rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $I$.

Soit $p$ un entier naturel. Soit $n$ un entier naturel impair supérieur ou égal à $p$ (on peut prendre $n=p$ si $p$ est impair et $n=p+1$ si $p$ est pair). Puisque $n$ est impair, $(-1)^n$ est le produit d'un nombre impair de $-1$ et est donc égal à $-1$. Par suite, $(-1)^n\notin I$.

On a montré que pour tout rang $p$, il existe au moins un rang $n\geqslant p$ tel que $(-1)^n\notin I$. Finalement, on a fourni un intervalle ouvert de centre $1$ qui ne contient pas tous les termes de la suite $\left((-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang et donc la suite $\left((-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ne converge pas vers $1$.

La conclusion serait la même dans les trois derniers cas. La suite $\left((-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est un exemple de suite divergente.

Remarque. On ne peut pas se permettre de dire que la suite $\left((-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $1$ et $-1$. Tout d'abord parce qu'on vient de montrer que cette suite n'a pas de limite, mais aussi parce qu'on a démontré que si une suite a une limite, cette limite est unique.

2) Suites de limite infinie

Notation. Quand $u_n$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on écrit $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$. Quand $u_n$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on écrit $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty$.

Remarque. Une suite tendant vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est une suite divergente.

Exemple. Montrons que la suite définie par : pour tout entier naturel $n$, $u_n=n^2+3n+2$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

On note d'abord que pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+n^2+2n+2$ et donc $u_n\geqslant n$. Soient alors $A$ un réel puis $I=]A,+\infty[$. Soit $p$ un entier strictement plus grand que $A$ (on peut prendre par exemple $p=0$ si $A<0$ et $p=E(A)+1$ si $A\geqslant0$ (où $E$ désigne la fonction \og partie entière \fg)). Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$, on a $u_n\geqslant n\geqslant p>A$ et donc $u_n\in I$.

On a montré que tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang et donc que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.

3) Limites des suites de référence

Nous allons maintenant étudier la limite d'une suite géométrique (théorème 9). Pour démontrer ce théorème, on a besoin d'un résultat préliminaire qui est l'objet du théorème 8.

4) Opérations sur les limites

1. Somme de deux suites

On admettra le théorème suivant dont les résultats sont très intuitifs.

Théorème 10.

(limite d'une somme de deux suites). Soient $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels.

1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell'$, alors la suite $\left(u_n+v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n+v_n)=\ell+\ell'$.
2. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) quand $n$ tend vers $+\infty$, la suite $\left(u_n+v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) quand $n$ tend vers $+\infty$.
3. Si les suites $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tendent toutes les deux vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) quand $n$ tend vers $+\infty$, la suite $\left(u_n+v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) quand $n$ tend vers $+\infty$.
4. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ et la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on ne peut pas conclure car tout est possible pour la suite $\left(u_n+v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

On résume ces différents résultats dans un tableau.

$(u_n)$ a pour limite	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$(v_n)$ a pour limite	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$(u_n+v_n)$ a pour limite	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	?

Le tableau ci-dessus comporte un ?. Quand la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ et que la suite $(v_n)$ tend vers $-\infty$, tout est possible et on ne peut donc pas donner de résultat général. Voici quatre exemples montrant que l'on peut vraiment obtenir n'importe quel résultat pour la suite $(u_n+v_n)$. Dans chacun des quatre cas ci-dessous la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ et la suite $(v_n)$ tend vers $-\infty$.

• $u_n=n^2+n$, $v_n=-n^2$, $u_n+v_n=n$. Dans ce cas, la suite $(u_n+v_n)$ tend vers $+\infty$.
• $u_n=n^2-n$, $v_n=-n^2$, $u_n+v_n=-n$. Dans ce cas, la suite $(u_n+v_n)$ tend vers $-\infty$.
• $u_n=n^2+1$, $v_n=-n^2$, $u_n+v_n=1$. Dans ce cas, la suite $(u_n+v_n)$ tend vers $1$.
• $u_n=n^2+(-1)^n$, $v_n=-n^2$, $u_n+v_n=(-1)^n$. Dans ce cas, la suite $(u_n+v_n)$ n'a pas de limite.



2. Produit de deux suites




Théorème 11.

(limite d'un produit de de deux suites). Soient $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels.

1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell'$, alors la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n\times v_n)=\ell\times\ell'$.
2. 1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell>0$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$), la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$).
   2. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell<0$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$), la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$).
3. 1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tendent toutes les deux vers $+\infty$ ou toutes les deux vers $-\infty$, la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
   2. Si l'une des deux suites $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ou $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ ou l'autre tend vers $-\infty$, la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$.
4. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $0$ et la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $\pm\infty$, on ne peut pas conclure car tout est possible pour la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

On résume ces différents résultats dans un tableau.

$(u_n)$ a pour limite	$\ell$	$\ell>0$	$\ell>0$	$\ell<0$	$\ell<0$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$0$
$(v_n)$ a pour limite	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+-\infty$	$\pm\infty$
$(u_n\times v_n)$ a pour limite	$\ell\times\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	?

Remarque. Le cas particulier où l'une des deux suites est une suite constante et non nulle fournit les différents résultats pour la suite $(ku_n)$ où $k$ est un réel non nul.

Encore une fois, le tableau comporte un ?. Voici quatre exemples où la suite $(u_n)$ tend vers $0$ et la suite $(v_n)$ tend vers $\pm\infty$ avec à chaque fois un résultat différent concernant la suite $(u_n\times v_n)$.

• $u_n=\dfrac{1}{n}$, $v_n=n^2$, $u_n\times v_n=n$. Dans ce cas, la suite $(u_n\times v_n)$ tend vers $+\infty$.
• $u_n=\dfrac{1}{n^2}$, $v_n=n$, $u_n\times v_n=\dfrac{1}{n}$. Dans ce cas, la suite $(u_n\times v_n)$ tend vers $0$.
• $u_n=\dfrac{1}{n}$, $v_n=n$, $u_n\times v_n=1$. Dans ce cas, la suite $(u_n\times v_n)$ tend vers $1$.
• $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$, $v_n=n$, $u_n\times v_n=(-1)^n$. Dans ce cas, la suite $(u_n\times v_n)$ n'a pas de limite.



3. Quotient de deux suites




Théorème 12.

(limite d'un quotient de de deux suites). Soient $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels telles que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.

1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell'\neq0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)=\dfrac{\ell}{\ell'}$.
2. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell$ et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $\pm\infty$, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $0$.
3. 1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ vers un réel $\ell' > 0$ (respectivement $\ell' < 0$), suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$.
   2. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ vers un réel $\ell' < 0$ (respectivement $\ell' > 0$), la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$.
   1. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers un réel $\ell > 0$ ou vers $+\infty$ (respectivement vers un réel $\ell < 0$ ou vers $-\infty$) et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement positive (respectivement strictement négative) à partir d'un certain rang et tend vers $0$,la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)=+\infty$.
   2. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers un réel $\ell > 0$ ou vers $+\infty$ (respectivement vers un réel $\ell < 0$ ou vers $-\infty$) et si la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement négative (respectivement strictement positive) à partir d'un certain rang et tend vers $0$,la suite $\left(u_n\times v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)=+\infty$.
4. Si les deux suites $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tendent toutes les deux vers $0$ ou toutes les deux vers $\pm\infty$, on ne peut pas conclure car tout est possible pour la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

On résume ces différents résultats dans un tableau.

$(u_n)$ a pour limite

$\ell$

$\ell$

$+\infty$

$+\infty$

$-\infty$

$-\infty$

$\pm\infty$

$\ell>0$ ou $+\infty$

$\ell< 0$ ou $-\infty$

$\ell>0$ ou $+\infty$

$\ell< 0$ ou $-\infty$

$0$

$(v_n)$ a pour limite

$\ell'\neq0$

$\pm\infty$

$\ell'>0$

$\ell'<0$

$\ell'>0$

$\ell'<0$

$\pm\infty$

$0$ en étant $>0$

$0$ en étant $>0$

$0$ en étant $<0$

$0$ en étant $<0$

$0$

$\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ a pour limite

$\dfrac{\ell}{\ell'}$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$-\infty$

$+\infty$

$?$

$+\infty$

$-\infty$

$-\infty$

$+\infty$

$?$

Remarque. En particulier, l'inverse d'une suite tendant vers l'infini est une suite tendant vers $0$ et l'inverse d'une suite strictement positive ou strictement négative tendant vers $0$ est une suite tendant vers l'infini ($+$ ou $-$). On résume ces résultats avec les deux égalités

$\dfrac{1}{0}=\infty$ et $\dfrac{1}{\infty}=0$.

L'écriture $\dfrac{1}{0}$ ne signifie pas que l'on a divisé le nombre $1$ par le nombre $0$ mais que l'on a divisé une suite tendant vers $1$ par une suite tendant vers $0$. De même, l'écriture $\dfrac{1}{\infty}$ ne signifie pas que l'on a divisé le nombre $1$ par l'infini (qui n'est pas un nombre) mais que l'on a divisé une suite tendant vers $1$ par une suite tendant vers l'infini.

Cette fois-ci, le tableau comporte deux ?. Voici trois exemples où les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers $0$ avec à chaque fois un résultat différent concernant la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

• $u_n=\dfrac{1}{n}$, $v_n=\dfrac{1}{n^2}$, $\dfrac{u_n}{v_n}=n$. Dans ce cas, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers $+\infty$.
• $u_n=\dfrac{1}{n^2}$, $v_n=\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{1}{n}$. Dans ce cas, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers $0$.
• $u_n=\dfrac{1}{n}$, $v_n=n$, $\dfrac{u_n}{v_n}=1$. Dans ce cas, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers $1$.

Voici trois autres exemples où les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ tendent vers $+\infty$ avec à chaque fois un résultat différent concernant la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

• $u_n=n^2$, $v_n=n$, $\dfrac{u_n}{v_n}=n$. Dans ce cas, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers $+\infty$.
• $u_n=n$, $v_n=n^2$, $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{1}{n}$. Dans ce cas, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers $0$.
• $u_n=n$, $v_n=n$, $\dfrac{u_n}{v_n}=1$. Dans ce cas, la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers $1$.

4. Les quatre formes indéterminées

Dans les théorèmes précédents, nous avons rencontré quatre situations où le résultat était imprévisible. Ces quatre situations sont les quatre formes indéterminées de la classe de terminale. L'une d'entre elles est à part : c'est la forme $+\infty-\infty$. Les trois autres vont ensemble car il s'agit en fait de la même forme indéterminée : ce sont les formes $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$ et $0\times\infty$. Il s'agit bien d'une seule et même indétermination en tenant compte des deux \og égalités \fg~:~$\dfrac{1}{0}=\infty$ et $\dfrac{1}{\infty}=0$.

Quand on n'est en présence d'une telle forme indéterminée, les théorèmes 10, 11 et 12 affirment que l'on ne peut pas conclure avec cette écriture de la suite. Ceci ne signifie pas que tout s'arrête et que l'on ne sait pas faire l'exercice. Cela signifie que l'on doit chercher une autre écriture de la suite sous laquelle l'indétermination disparaît. La principale technique est :

on met le terme prépondérant en facteur.

Par exemple, pour $n\in\mathbb{N}$, posons $u_n=2n^2-3n+5$. $2n^2$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et $-3n+5$ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Nous sommes donc face à une forme indéterminée. Il n'est pas nécessaire de le constater sur une copie. En présence d'une forme indéterminée, la première chose à ne pas faire est d'écrire $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ldots$ car on ne sait même pas si cette limite existe. On transforme d'abord l'écriture de $u_n$ en mettant le terme prépondérant $2n^2$ en facteurs sans écrire le symbole $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}$ : pour tout entier naturel \textbf{non nul} $n$,

$u_n=2n^2-3n+5=2n^2\left(\dfrac{2n^2}{2n^2}-\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{5}{2n^2}\right)=2n^2\left(1-\dfrac{3}{2n}+\dfrac{5}{2n^2}\right)$.

Dans la parenthèse est apparue une somme dont le premier terme est $1$. Les autres termes tendent vers $0$ car ils sont le résultat de la division d'un terme par un terme prépondérant. La parenthèse tend donc vers $1$ et il n'y a plus qu'à donner la limite du terme prépondérant mis en facteur. L'indétermination a été levée et on peut maintenant utiliser le symbole $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}$ : $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}-\dfrac{3}{2n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{5}{2n^2}=0$. Donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}1-\dfrac{3}{2n}+\dfrac{5}{2n^2}=1$. D'autre part, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}2n^2=+\infty$. En effectuant le produit des deux suites, on obtient

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}2n^2\left(1-\dfrac{3}{2n}+\dfrac{5}{2n^2}\right)=+\infty.$$

Exercice 8. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{2n^2-5n+7}{3n^2+n+1}$. Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Solution. Pour tout entier naturel \text{non nul} $n$,

\begin{align*} u_n&=\dfrac{2n^2-5n+7}{3n^2+n+1}=\dfrac{2n^2\left(\dfrac{2n^2}{2n^2}-\dfrac{5n}{2n^2}+\dfrac{7}{2n^2}\right)}{3n^2\left(\dfrac{3n^2}{3n^2}+\dfrac{n}{3n^2}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}=\dfrac{2n^2}{3n^2}\times\dfrac{1-\dfrac{5}{2n}+\dfrac{7}{2n^2}}{1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}}\\ &=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1-\dfrac{5}{2n}+\dfrac{7}{2n^2}}{1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}}. \end{align*} $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}-\dfrac{5}{2n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{7}{2n^2}=0$. Donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1-\dfrac{5}{2n}+\dfrac{7}{2n^2}\right)=1$. De même, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)=1$.

En effectuant le quotient des deux suites, on obtient $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1-\dfrac{5}{2n}+\dfrac{7}{2n^2}}{1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}}=\dfrac{1}{1}=1$ et finalement

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1-\dfrac{5}{2n}+\dfrac{7}{2n^2}}{1+\dfrac{1}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}}=\dfrac{2}{3}\times1=\dfrac{2}{3}.$$


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Commentaire. Dans l'exercice 8, nous étions en présence d'une indétermination du type $\dfrac{\infty}{\infty}$ (le numérateur tend vers $+\infty$ à cause de $2n^2$ et le dénominateur tend vers $+\infty$ à cause de $3n^2$). Nous n'avons pas mentionné cette indétermination dans la solution mais nous avons tout de suite transformé l'écriture de $u_n$ sans écrire le symbole $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}$.

Au numérateur, nous avons mis en facteur le terme prépondérant $2n^2$ en facteur et au dénominateur, nous avons mis en facteur le terme prépondérant $3n^2$. Nous avons ainsi fait apparaître explicitement le \og face à face \fg~entre $2n^2$ et $3n^2$ qui contient l'indétermination $\dfrac{\infty}{\infty}$. L'indétermination a été levée quand nous avons simplifié par $n^2$.

Exercice 9. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\sqrt{4n^2+n+1}-n$. Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Solution. Pour tout entier naturel non nul $n$,

\begin{align*} u_n&=\sqrt{4n^2+n+1}-n=\sqrt{4n^2\left(1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}\right)}-n=\sqrt{4n^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}}-n\\ &=2n\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}}-n=n\left(2\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}}-1\right). \end{align*} $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{4n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{4n^2}=0$. Donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}\right)=1$ puis $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}2\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}}-1=2\sqrt{1}-1=1$. D'autre part, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$ et finalement, en effectuant le produit des deux suites $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n\left(2\sqrt{1+\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{4n^2}}-1\right)=+\infty.$$


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Commentaire. Dans l'exercice précédent, nous étions en face d'une indétermination du type $+\infty-\infty$. Le premier terme $\sqrt{4n^2+n+1}$ vaut environ $\sqrt{4n^2}=2n$ et donc la différence $\sqrt{4n^2+n+1}-n$ vaut environ $2n-n=n$. Ce discours approximatif doit être remplacé par un calcul rigoureux. La technique consiste à mettre en facteur le prépondérant $4n^2$ en facteur sous la racine carrée.

Il existe d'autres techniques pour lever des indéterminations qui s'utilisent dans des circonstances très particulières. Nous en signalerons ici une : l'utilisation d'une quantité conjuguée.

Exercice 10. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\sqrt{n^2+n+1}-n$. Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Solution. Pour tout entier naturel $n$,

\begin{align*} u_n&=\sqrt{n^2+n+1}-n=\dfrac{\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+n+1}+n\right)}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{\left(\sqrt{n^2+n+1}\right)^2-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\\ &=\dfrac{n^2+n+1-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}+n}=\dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1\right)}\\ &=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}. \end{align*} $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$. Donc, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}=1$ puis $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1=2$. D'autre part, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}1+\dfrac{1}{n}=1$ et donc en effectuant le quotient des deux suites $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}=\dfrac{1}{2}.$$


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Commentaire. Nous étions en présence d'une indétermination du type $+\infty-\infty$. Mais si pratiquons comme dans l'exercice 9 :

$$\sqrt{n^2+n+1}-n=\ldots=n\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}-1\right),$$

nous transformons l'indétermination $+\infty-\infty$ en l'indétermination $\infty\times0$. La différence avec l'exercice 9 est que $\sqrt{n^2}-n=0$ (alors que dans l'exercice précédent $\sqrt{4n^2}-n=n$). Pour voir explicitement le \og face à face \fg~$\sqrt{n^2}-n=n-n=0$, il faudrait pouvoir élever au carré l'expression $\sqrt{n^2+n+1}$. Pour pouvoir élever au carré $\sqrt{a}$ dans l'expression $\sqrt{a}-b$, on utilise la \textbf{quantité conjuguée} $\sqrt{a}+b$ :

$$\left(\sqrt{a}-b\right)\left(\sqrt{a}+b\right)=\left(\sqrt{a}\right)^2-b^2=a-b^2.$$

Ainsi, on multiplie et on divise l'expression $\sqrt{n^2+n+1}-n$ par l'expression $\sqrt{n^2+n+1}+n$. L'effet est double : au numérateur on a maintenant $(n^2+n+1)-n^2=n+1$ et le \og face à face \fg~$n^2-n^2=0$ est apparu explicitement. Au dénominateur, il n'y a plus d'intermination du type $+\infty-\infty$. Le dénominateur $\sqrt{n^2+n+1}+n$ tend vers $+\infty+\infty=+\infty$. On peut alors revenir à la technique du terme prépondérant en facteur.

5) Limites et inégalités

1. Limites finies et inégalités

On admettra le théorème suivant

Théorème 13.

Soient $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels.

On suppose que

• il existe un rang $p$ tel que pour tout entier naturel $n\geqslant p$, $u_n\leqslant v_n$,
• la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell$,
• la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un réel $\ell'$,
alors $\ell\leqslant\ell'$.



2. Limites infinies et inégalités

Théorème 14.

Soient $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels.

1. Si pour tout entier naturel $n$ à partir d'un certain rang, on a $u_n\leqslant v_n$ et si $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty$.
2. Si pour tout entier naturel $n$ à partir d'un certain rang, on a $u_n\leqslant v_n$ et si $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty$.


Démonstration. Montrons 1). Par hypothèse, il existe un rang $p_1$ tel que pour tout $n\geqslant p_1$, $v_n\geqslant u_n$.

Soit $A$ un réel puis $I=]A,+\infty[$. Puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$, il existe un rang $p_2$ tel que pour tout $n\geqslant p_2$, $u_n$ appartient à $I$.

Soit $p$ le plus grand des deux entiers $p_1$ et $p_2$. Pour tout $n\geqslant p$, $v_n\geqslant u_n$ et $u_n>A$. Donc, pour tout $n\geqslant p$, $v_n>A$ ou encore $v_n$ appartient à $I$. Par suite, l'intervalle $I$ contient tous les termes de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir du rang $p$.

On a montré que tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ où $A$ est un réel, contient tous les termes de la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certainrang et donc que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=+\infty$.

Le 2) se montre de manière analogue.




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Exercice 11. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
$u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+3$.
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
2. En déduire la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
On suppose maintenant que $u_0=-4$ et que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+3$.
3. 1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
   2. Conjecturer une inégalité vérifiée par $u_n$ puis démontrer cette inégalité par récurrence.
   3. En déduire la limite de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Solution.

1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
• Puisque $u_0=0$, l'inégalité est vraie quand $n=0$.
• Soit $n\geqslant0$. Supposons que $u_n\geqslant n$ et montrons que $u_{n+1}\geqslant n+1$.
\begin{align*} u_n\geqslant n&\Rightarrow2u_n+3\geqslant2n+3\Rightarrow u_{n+1}\geqslant n+1+n+2\\ &\Rightarrow u_{n+1}\geqslant n+1\;(\text{car}\;n+2\geqslant0). \end{align*}

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.

2. Puisque pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$ et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.
3. 1. $u_0=-4$. $u_1=2u_0+3=2(-4)+3=-5$. $u_2=2u_1+3=2(-5)+3=-7$. $u_3=2u_2+3=2(-7)+3=-11$. $u_4=2u_3+3=2(-1)+3=-19$.
   2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant -n-4$.
   • Puisque $u_0=-4$ et que $-0-4=-4$, l'inégalité est vraie quand $n=0$.
   • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $u_n\leqslant -n-4$ et montrons que $u_{n+1}\geqslant -(n+1)-4$ ou encore $u_{n+1}\leqslant -n-5$.
   \begin{align*} u_n\leqslant -n-4&\Rightarrow2u_n+3\leqslant2(-n-4)+3\Rightarrow u_{n+1}\leqslant -2n-5\\ &\Rightarrow u_{n+1}\leqslant -n-5-n\\ &\Rightarrow u_{n+1}\leqslant-n-5\;(\text{car}\;-n\leqslant0). \end{align*}

   On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant -n-4$.

   3. Puisque pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant -n-4$ et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}-n-4=-\infty$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty$.



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3. Théorème des gendarmes

Théorème 15 (théorème des gendarmes).

Soient $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ trois suites de nombres réels. Si pour tout entier naturel $n$ à partir d'un certain rang, on a $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ et si les suites $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ (les gendarmes) convergent et ont la même limite $\ell$,\\ alors la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.


Démonstration. Il existe un rang $p_1$ tel que pour tout $n\geqslant p_1$, $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$.

Soient $\varepsilon$ un réel strictement positif puis $I=\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$.

Puisque la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell$, il existe un rang $p_2$ tel que pour tout $n\geqslant p_2$, $\ell-\varepsilon< u_n$ et puisque la suite $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell$, il existe un rang $p_3$ tel que pour tout $n\geqslant p_3$, $w_n< \ell+\varepsilon$.

Soit $p$ le plus grand des trois entiers $p_1$, $p_2$ et $p_3$. Pour tout entier naturel $n\geqslant p$, on a

$$\ell-\varepsilon< u_n\leqslant v_n\leqslant w_n< \ell+\varepsilon$$

et en particulier, pour tout entier naturel $n\geqslant p$, $\ell-\varepsilon

On a montré que tout intervalle ouvert de centre $\ell$ contient tous les termes de la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang. On en déduit que la suite $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.




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Par exemple, soit une suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant : pour tout $n\geqslant4$, $1-\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant1+\dfrac{1}{n}$. Alors la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=1$.

Exercice 12. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n}=\dfrac{(-1)^n}{n}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et déterminer sa limite.

Solution. Pour tout entier naturel non nul $n$, $(-1)^n$ est égal à $1$ ou à $-1$. Donc, pour tout entier naturel non nul $n$, $-1\leqslant (-1)^n\leqslant1$ puis

pour tout entier naturel non nul $n$, $-\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{n}$.

Puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}-\dfrac{1}{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=0$, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0$.

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4. Convergence des suites monotones

On admettra le théorème suivant :

Théorème 16.

Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels. Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante à partir d'un certain rang et si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée alors la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.
Si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante à partir d'un certain rang et si la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est minorée alors la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Commentaire. Le théorème 16 ne donne pas la valeur de la limite de $u_n$. Il dit simplement que cette limite existe.

Exercice 13. On reprend la suite de l'exercice \no 5. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par :
$u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$. On a déjà montré dans l'exercice \no 5 que
• pour tout entier naturel $n$, $u_n$ existe et $1\leqslant u_n<3$
• la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.

Solution. Représentation graphique de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$.

La suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et majorée par $3$. Donc la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge. Posons $\ell=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $u_{n+1}$ tend vers $\ell$ car $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1}=\displaystyle\lim_{N\rightarrow+\infty}u_{N}=\ell$. D'autre part, quand $n$ tend vers $+\infty$, $\sqrt{2u_{n}+3}$ tend vers $\sqrt{2\ell+3}$.

En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on obtient $\ell=\sqrt{2\ell+3}$. Ceci impose $\ell\geqslant0$ puis $\ell^2=2\ell+3$ après élévation au carré des deux membres de l'égalité. Le nombre $\ell$ est donc un réel positif, solution de l'équation $x^2-2x-3=0$.

Le discriminant de cette équation est $\Delta=(-1)^2-4(-3)=16$. L'équation $x^2-2x-3=0$ admet donc deux solutions distinctes : $x_1=\dfrac{2+\sqrt{16}}{2}=3$ et $x_2=\dfrac{2-\sqrt{16}}{2}=-1$. Puisque $\ell$ est positif, on obtient $\ell=3$.

On a montré que la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=3$.

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Théorème 17.

Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels croissante et majorée. Soit $\ell=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$. Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant\ell$.


Démonstration. Puisque la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et majorée, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge. Soit $\ell=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.

Supposons par l'absurde qu'il existe un rang $p$ tel que $u_p>\ell$. Puisque la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croisante, pour tout entier naturel $n\geqslant p$, $u_n\geqslant u_p$.

Variante 1. On fait tendre $n$ vers $+\infty$ dans cette inégalité : d'après le théorème 15, on a $\ell\geqslant u_p$. Ceci contredit le fait que $u_p>\ell$. Il était donc absurde de supposer qu'il existe un rang $p$ tel que $u_p>\ell$ et on a montré que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant\ell$.

Variante 2. Considérons l'intervalle $I=]\ell-1,u_p[$. Puisque $\ell-1<\ell< u_p$, $I$ est un intervalle ouvert contenant $\ell$. On sait que pour tout $n\geqslant p$, $u_n\geqslant u_p$ et en particulier, pour tout $n\geqslant p$, $u_n$ n'appartient pas à $I$. $I$ est donc un intervalle ouvert contenant $\ell$ et ne contenant pas tous les termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang. Ceci contredit le fait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$. Il était donc absurde de supposer qu'il existe un rang $p$ tel que $u_p>\ell$ et on a montré que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant\ell$.




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Théorème 18.

Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels croissante et non majorée. Alors, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.


Démonstration. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels croissante et non majorée.

Soient $A$ un réel puis $I=]A,+\infty[$. Puisque la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas majorée, le nombre $A$ n'est pas un majorant de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$. Il existe donc au moins un entier naturel $p$ tel que $u_p>A$.

Puisque la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante, pour tout entier naturel $n\geqslant p$, on a $u_n\geqslant u_p$ et donc $u_n>A$. Ainsi, il existe un rang $p$ tel que pour tout $n\geqslant p$, $u_n\in I$.

On a montré que tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$, où $A$ est un réel, contient tous les termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à partir d'un certain rang et donc que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$.