Chapitre 4. Généralités sur les fonctions

I. Généralités

1) Domaine de définition .

En rentrant en terminale S et avant d'avoir rencontré la fonction logarithme népérien, on a essentiellement deux problèmes de définition d'expression mathématiques :

1. un dénominateur de fraction ne doit pas être nul,
2. une expression sous le symbole racine carrée doit être positive ou nulle.

Solution

1. Pour tout réel $x$, $f_1(x)$ existe si et seulement si $4x^2+4x+1\neq0$.
   Le discriminant de l'équation $4x^2+4x+1=0$ est $\Delta=(-4)^2-4(-4)=0$. L'équation $4x^2+4x+1=0$ admet une solution double à savoir $x_0=\dfrac{-4}{2\times4}=-\dfrac{1}{2}$.
   Ainsi, pour tout réel $x$, $f_1(x)$ existe si et seulement si $x\neq-\dfrac{1}{2}$.
   Le domaine de définition de la fonction $f_1$ est donc $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}=\left]-\infty,-\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{2},+\infty\right[$.
   
   
2. Pour tout réel $x$, $f_2(x)$ existe si et seulement $x^2+x+1\geqslant0$. Le discriminant du trinôme $x^2+x+1$ est $\Delta=1^2-4\times1\times1=-3$. $\Delta$ est strictement négatif. On sait alors que le trinôme $x^2+x+1$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et est de signe constant sur $\mathbb{R}$, ce signe étant le signe du coefficient de $x^2$.
   On en déduit que pour tout réel $x$, $x^2+x+1>0$. En particulier, pour tout réel $x$, $f_2(x)$ existe.

   Le domaine de définition de la fonction $f_2$ est $\mathbb{R}$.

   
   
3. Pour tout réel $x$, $f_3(x)$ existe si et seulement si $-x^2+3x-2\geqslant0$ puis $\sqrt{-x^2+3x-2}\neq0$ ce qui est équivalent à $-x^2+3x-2>0$.
   Le discriminant du trinôme $-x^2+3x-2$ est $\Delta=3^2-4\times1\times2=1$. $\Delta$ est strictement positif. Le trinôme $-x^2+3x-2$ admet donc deux racines distinctes à savoir $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{-2}=2$.
   On sait que le trinôme $-x^2+3x-2$ est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle $[1,2]$ et du signe contraire à l'intérieur ce que l'on résume dans un tableau de signes : $$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty& &1& &2& &+\infty \\ \hline -x^2+3x-2& &-&0&+&0&-& \\ \hline\end{array}$$

   Par suite, pour tout réel $x$, $f_3(x)$ existe si et seulement si $1< x< 2$. Le domaine de définition de la fonction $f_2$ est $]1,2[$.

2) Représentation graphique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

Si $0$ appartient à $I$, l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentative de $f$ et de l'axe $(Oy)$ est $f(0)$.

Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ et de l'axe $(Ox)$.

Les solutions de l'inéquation $f(x)>0$ sont les abscisses des points de la courbe représentative de $f$ situés strictement au-dessus de l'axe $(Ox)$.

Solutions:

1. Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ et de l'axe des abscisses ou encore les abscisses des points de la courbe représentative de $f$ dont l'ordonnée est nulle. On lit sur le graphique : l'équation $f(x)=0$ a deux solutions, l'une des deux solutions est $-1$ et l'autre, notée $x_0$, est environ égale à $2,7$.


2. Les solutions de l'inéquation $f(x)>0$ sont les abscisses des points de la courbe représentative de $f$ qui sont situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses. On lit sur le graphique : l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)>0$ est $[-4,-1[\cup]x_0,6]$.


3. Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ et de la droite d'équation $y=3$ ou encore les abscisses des points de la courbe représentative de $f$ dont l'ordonnée est égale à $3$. On lit sur le graphique : l'équation $f(x)=3$ a deux solutions, les nombres $-2$ et $4$.


4. Pour tout réel $x$ de $[-4,6]$, $3 < f(x)\leqslant4\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 3< f(x)\\ \quad\text{et}\\ f(x)\leqslant4 \end{array} \right.$.

   Les solutions du système d'inéquations $3< f(x)\leqslant 4$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à $3$ et est inférieure ou égale à $4$. On lit sur le graphique : l'ensemble des solutions du système d'inéquations $3< f(x)\leqslant 4$ est $[-4,-2[\cup]4,6]$.

3) Composée de fonctions

Par exemple, soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : pour tout réel $x$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ ($f$ est définie sur $\mathbb{R}$ car pour tout réel $x$, on a $x^2+1\geqslant0$). $f$ est une composée de deux fonctions. Pour tout réel $x$, posons $g(x)=x^2+1$ et pour tout réel positif $y$, posons $h(y)=\sqrt{y}$.
La fonction $g$ est définie sur $I=\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $g(x)\geqslant 0$ ou encore pour tout réel $x$, $g(x)$ appartient à $J=[0,+\infty[$ intervalle sur lequel la fonction $h$ est définie.
Pour tout réel $x$ de $I=\mathbb{R}$, on a alors $f(x)=h(g(x))$ ou encore $f=h\circ g$ est la composée de $g$ suivie de $h$.

Solution.

1. Pour tout réel $x$,
   $$g\circ f(x)=g(f(x))=(f(x))^2=(2x+3)^2,$$
   ou aussi
   $$g\circ f(x)=g(f(x))=g(2x+3)=(2x+3)^2.$$
2. Pour tout réel $x$, $$g\circ f(x)=g(f(x))=2f(x)+3=2x^2+3,$$
   ou aussi
   $$g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^2)=2x^2+3.$$
   
3. Pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant0$ puis
   $$g\circ f(x)=g(f(x))=\sqrt{f(x)}=\sqrt{x^2}=|x|.$$
4. Pour tout réel positif $x$,
   $$g\circ f(x)=g(f(x))=(f(x))^2=\left(\sqrt{x}\right)^2=x.$$
   

4) Position relative de deux courbes

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On veut étudier la position relative de la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ et de la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ de $g$ ou encore, on veut savoir pour chaque réel $x$ de $I$, si le point $M$ de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse $x$ est au-dessus ou au-dessous du point $N$ de $\mathscr{C}_g$ de même abscisse $x$.

La technique est

avec les résultats suivants :

• si pour tout réel $x$ d'un intervalle $J$ contenu dans $I$, on a $f(x)-g(x)>0$, $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur l'intervalle $J$.
• si pour tout réel $x$ d'un intervalle $J$ contenu dans $I$, on a $f(x)-g(x)< 0$, $\mathscr{C}_f$ est strictement au-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur l'intervalle $J$.
• si pour un réel $x_0$ de $I$, on a $f(x_0)-g(x_0)=0$, $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent en leur point d'abscisse $x_0$.

• $\mathscr{C}_g$ est strictement au-dessous de $\mathscr{C}_f$ sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,1[$,
• $\mathscr{C}_g$ est strictement au-dessus de $\mathscr{C}_f$ sur $]1,+\infty[$,
• $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent en leurs points d'abscisses respectives $0$ et $1$ ou encore en les points de coordonnées respectives $(0,0)$ et $(1,1)$.

En particulier, pour tout réel $x$ de $]0,1[$, $x^3< x^2$ et pour tout réel $x$ de $]1,+\infty[$, $x^3>x^2$.

Solution. Pour tout réel $x$ différent de $2$,

Le discriminant du trinôme $-x^2+4x-3$ est $\Delta=4^2-4(-1)(-3)=4>0$. Le trinôme $-x^2+4x-3$ a deux racines distinctes : $x_1=\dfrac{-4+2}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{-4-2}{-2}=3$. On sait alors que le trinôme $-x^2+4x-3$ est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle $[1,3]$.

Etudions maintenant le signe de $\dfrac{-x^2+4x-3}{x-2}$ dans un tableau de signes.

5) Fonctions paires, fonctions impaires

Soit $f~:~x\mapsto x^2$. Pour tout réel $x$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$. Ainsi, deux réels opposés ont même image par $f$ ou encore les points du graphe de $f$ d'abscisses respectives $x$ et $-x$ ont la même ordonnée. Graphiquement, cela se traduit par la symétrie du graphe de $f$ par rapport à l'axe des ordonnées.

Plus généralement, les fonctions $x\mapsto x^4$, $x\mapsto x^6$ ..., $x\mapsto x^{2n}$ où $n$ est un entier naturel c'est-à-dire $x$ à un exposant un entier pair, vérifient l'égalité : pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$.

Soit $f~:~x\mapsto x^3$. Pour tout réel $x$, $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$. Ainsi, deux réels opposés ont des images opposées par $f$ ou encore les points du graphe de $f$ d'abscisses respectives $x$ et $-x$ ont des ordonnées opposées. Graphiquement, cela se traduit par la symétrie du graphe de $f$ par rapport à l'origine $O$.

Plus généralement, les fonctions $x\mapsto x$, $x\mapsto x^3$, $x\mapsto x^5$, ..., $x\mapsto x^{2n+1}$ où $n$ est un entier naturel c'est-à-dire $x$ à un exposant un entier impair, vérifient l'égalité : pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$.

Ces considérations motivent la définition suivante :

II. Sens de variation d'une fonction

1) Définition

Si $f$ est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle $I$ et $f$ est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle $J$, $f$ n'est pas nécessairement croissante (respectivement décroissante) sur la réunion de $I$ et de $J$.

Par exemple, la fonction $f~:~x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty,0[$ et aussi sur l'intervalle $]0,+\infty[$.

Pourtant la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*=]-\infty,0[\cup]0,+\infty[$. En effet, on a par exemple $-1\leqslant 1$

et aussi $\dfrac{1}{-1}\leqslant\dfrac{1}{1}$. Pour aller du point de coordonnées $(-1,f(-1))$ au point de coordonnées $(1,f(1))$, \og on monte \fg~(quand on lit le dessin de gauche à droite).

Remarque. Revenons sur la définition d'une fonction croissante : $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, si $a\leqslant b$ alors $f(a)\leqslant f(b)$. Cette implication n'est pas une équivalence ou encore ce n'est pas parce que $f(a)\leqslant f(b)$ que l'on aura obligatoirement $a\leqslant b$.
En effet, considérons par exemple la fonction $f$ définie sur $[0,2]$ dont la représentation graphique est :

La fonction $f$ est croissante sur $[0,2]$ ou encore si $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a\leqslant b$, on a obligatoirement $f(a)\leqslant f(b)$.

Prenons maintenant $a=2$ et $b=1$. On a $f(a)=1=f(b)$ et en particulier $f(a)\leqslant f(b)$ mais malheureusement on a $a>b$. Par contre

Démonstration. Soit $f$ une fonction strictement croissante sur un intervalle $I$. Par définition, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, si $a< b$ alors $f(a)< f(b)$.

Réciproquement, soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $f(a)< f(b)$. Il y a trois possibilités pour les réels $a$ et $b$ : ou bien $a< b$, ou bien $a>b$, ou bien $a=b$.

Mais si $a>b$ ou encore $b< a$, alors $f(b)< f(a)$ ce qui n'est pas et si $a=b$ alors $f(a)=f(b)$ ce qui n'est pas. Il ne reste donc que la possibilité $a< b$.

On a montré que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, si $f(a)< f(b)$ alors $a< b$ et finalement que

Réciproquement, si $f$ est une fonction elle que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, $a< b\Leftrightarrow f(a)< f(b)$, alors en particulier, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, si $a< b$ alors $f(a)< f(b)$ et donc $f$ est strictement croissante sur $I$.

La démonstration est analogue pour les fonctions strictement décroissantes.

2) Sens de variation et opérations

Remarque. Le théorème ci-dessus reste valable en remplaçant « croissante » par « strictement croissante » et « décroissante » par « strictement décroissante » .

Ainsi, le sens de variation d'une composition de fonctions obéit à la « règle des signes ». Si on note $+$ la croissance et $-$ la décroissance alors :

Solutions.

1. Pour $x>-4$, on pose $g(x)=x+4$, pour $y>0$, on pose $h(y)=\sqrt{y}$, pour $z>0$, on pose $k(z)=\dfrac{1}{z}$, pour $t$ réel, on pose $l(t)=-2t+3$.
   $g$ est définie sur $]-4,+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-4,+\infty[$, $g(x)$ appartient à $]0,+\infty[$. Donc $h\circ g$ est définie sur $]-4,+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-4,+\infty[$, $h(g(x))=\sqrt{x+4}$.
   $h\circ g$ est définie sur $]-4,+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-4,+\infty[$, $h(g(x))$ appartient à $]0,+\infty[$. Donc $k\circ h\circ g$ est définie sur $]-4,+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-4,+\infty[$, $k(h(g(x)))=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}$.
   $k\circ h\circ g$ est définie sur $]-4,+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-4,+\infty[$, $k(h(g(x)))$ appartient à $\mathbb{R}$. Donc $l\circ k\circ h\circ g$ est définie sur $]-4,+\infty[$ et pour tout réel $x$ de $]-4,+\infty[$, $l\circ k\circ h(g(x))=-2\times\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}+3=f(x)$.
   Ainsi, $f=l\circ k\circ h\circ g$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]-4,+\infty[$, la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$, la fonction $k$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ et la fonction $l$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-4,+\infty[$.
2. Soient $a$ et $b$ deux réels de $]-4,+\infty[$.
   \begin{align*} a< b&\Rightarrow 0< a+4< b+4\\ &\Rightarrow0<\sqrt{a+4}<\sqrt{b+4}\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;x\mapsto\sqrt{x}\;\text{sur}]0,+\infty[)\\ &\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a+4}}>\dfrac{1}{\sqrt{b+4}}\;(\text{par stricte décroissance de la fonction}\;x\mapsto\dfrac{1}{x}\;\text{sur}]0,+\infty[)\\ &\Rightarrow-\dfrac{2}{\sqrt{a+4}}<-\dfrac{2}{\sqrt{b+4}}\;(\text{car}\;-2< 0)\\ &\Rightarrow3-\dfrac{2}{\sqrt{a+4}}< 3-\dfrac{2}{\sqrt{b+4}}\\ &\Rightarrow f(a)< f(b). \end{align*}

Remarque. La deuxième solution est bien plus efficace et brève que la première. Mais il s'agit en fait d'une seule et même solution. Les calculs effectués dans la deuxième solution ne sont que la traduction des résultats de la première solution. Evidemment, la première solution est horrible à rédiger. Néanmoins, cette première solution est beaucoup plus rapide à penser qu'à écrire : on doit considérer que le sens de variation de la fonction $f$ de l'exercice 5 « saute aux yeux » par composition d'opérations élémentaires successives. La raison fondamentale de ce fait est que dans l'expression de $f(x)$,