Au collège, nous savions résoudre dans $[0,+\infty[$ l'équation $x^2=4$. Cette équation a une solution positive et une
seule à savoir $x=2$ car $2^2=4$. Mais pour résoudre dans $[0,+\infty[$ l'équation $x^2=2$, nous n'avions pas de solution
évidente de cette équation et nous avons dû créer une nouvelle fonction : la fonction racine carrée.
Une fois cette fonction crée, nous disposions d'un symbole pour résoudre dans $[0,+\infty[$ l'équation $x^2=2$ : cette
équation admet une solution positive et une seule à savoir $x=\sqrt{2}$.
Nous ne connaissons pas la valeur exacte de $\sqrt{2}$ et nous devons prendre la calculatrice pour lire $\sqrt{2}=1,414\ldots$
Le principe est le même avec la fonction exponentielle. A ce niveau du cours, on sait résoudre l'équation $e^x=1$
(cette équation admet une solution et une seule à savoir $x=0$) ou bien on sait résoudre l'équation $e^x=e^2$ (cette
équation admet une solution et une seule à savoir $x=2$).
Mais on ne sait pas encore résoudre l'équation $e^x=2$. On crée pour cela une nouvelle fonction : la fonction \textbf{logarithme népérien}.
Graphiquement l'équation $e^x=2$ admet une solution et une seule dans $]0,+\infty[$. Cette solution est notée $\ln(2)$ par
définition, $\ln(2)$ se lisant \og logarithme népérien de $2$ \fg. Le mot \og népérien \fg~vient du nom d'un mathématicien
écossais John Neper qui inventa les logarithmes (Neper étant la version francisée du nom écossais Napier).
Nous ne connaissons pas la valeur exacte de $\ln(2)$ et nous devons prendre la calculatrice pour lire $\ln(2)=0,693\ldots$
De manière générale, un corolaire du théorème des valeurs intermédiaires permet de montrer que pour tout réel
strictement positif $k$, l'équation $e^x=k$ admet une solution et une seule dans $\mathbb{R}$. Cette solution est par définition
$\ln(k)$, le logarithme népérien du nombre réel strictement positif $k$. On peut énoncer :
Définition 1.
Soit $x$ un réel strictement positif. Le \textbf{logarithme népérien} de $x$ est l'unique réel
dont l'exponentielle est égale à $x$. Il est noté $\ln(x)$.
On définit ainsi une fonction sur $]0,+\infty[$, la fonction $\ln$.
Par construction de la fonction logarithme népérien, on obtient le théorème suivant
Théorème 1.
Pour tout réel $a$ et tout réel strictement positif $b$, $e^a=b\Leftrightarrow a=\ln(b)$.
Pour tout réel strictement positif $a$ et tout réel $b$, $\ln(a)=b\Leftrightarrow a=e^b$.
Ceci a pour conséquence le théorème :
Théorème 2.
Pour tout réel $x$, $\ln\left(e^x\right)=x$.
Pour tout réel strictement positif $x$, $e^{\ln(x)}=x$.
Démonstration.
Soit $x$ un réel et $y$ un réel strictement positif.
$$y=\ln\left(e^x\right)\Leftrightarrow e^y=e^x\Leftrightarrow y=x,$$
et donc $\ln\left(e^x\right)=x$.
Soit $x$ un réel strictement positif. Par définition, $\ln(x)$ est l'unique réel dont l'exponentielle est égale à $x$ et donc
$e^{\ln(x)}=x$.
Commentaire. On dit que la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont \textbf{réciproques} l'une
de l'autre. C'est le même principe pour les fonctions \og carré \fg~et \og racine carrée \fg~: pour tous réels \textbf{positifs} $a$ et
$b$,
L'ensemble des solutions de l'équation $\ln(2x+3)=2$ est $\left\{\dfrac{e^2-3}{2}\right\}$.
II. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
1) Relation fonctionnelle
Théorème 4.
Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, $\ln(x\times y)=\ln(x)+\ln(y)$.
Démonstration. Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. $\text{exp}(\ln(x\times y))=x\times y$ et
$$\text{exp}(\ln(x)+\ln(y))=\text{exp}(\ln(x))\times\text{exp}(\ln(y))=x\times y.$$
Ainsi, les deux réels $\ln(x\times y)$ et $\ln(x)+\ln(y)$ ont la même exponentielle. On en déduit que ces deux réels sont
égaux. On a donc montré que $\ln(x\times y)=\ln(x)+\ln(y)$.
2) Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème 4.
Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, $\ln(x\times y)=\ln(x)+\ln(y)$.
Pour tout réel strictement positif $x$, $\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln(x)$.
Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, $\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y)$.
Pour tout réel strictement positif $x$ et tout entier relatif $n$, $\ln\left(x^n\right)=n\ln(x)$.
Pour tout réel strictement positif $x$, $\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(x)$.
Démonstration. On déduit les propriétés 2), 3) 4) et 5) de la relation fondamentale 1) et de l'égalité $\ln(1)=0$.
et donc $\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(x)$.
Commentaire. On pouvait aussi déduire chacune des formules de 2) à 5) de la formule correspondante pour la
fonction exponentielle en calculant à chaque fois l'exponentielle des deux membres de l'égalité à établir.
Ainsi, le logarithme népérien transforme un produit en somme (le logarithme népérien d'un produit est la somme
des logarithmes) et l'exponentielle transforme les sommes en produit (l'exponentielle d'une somme est le produit
des exponentielles.
Plus généralement, le logarithme transforme toute notion liée à la multiplication en son équivalent pour l'addition.
Par exemple, l'équivalent pour l'addition de la phrase \og le produit d'un nombre non nul par son inverse est égal
à $1$ \fg~est la phrase \og la somme d'un nombre et de son opposé est $0$ \fg.
Le logarithme transforme donc $1$ en $0$ et l'inverse en l'opposé.
III. Propriétés analytiques de la fonction logarithme népérien
1) Dérivée de la fonction logarithme népérien
Théorème 5.
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et
pour tout réel strictement positif $x$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.
Démonstration 1. Dans cette démonstration, on admet que $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$.
Pour tout réel strictement positif $x$, on a $\text{exp}(\ln(x))=x$. En dérivant cette égalité, pour tout réel strictement $x$
on obtient
$\text{exp}'(\ln(x))\times\ln'(x)=1$ puis $\text{exp}(\ln(x))\times\ln'(x)=1$ puis $x\times\ln'(x)=1$ et finalement $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.
Démonstration 2. Soient $x_0$ et $x$ deux réels strictement positifs et distincts. Posons $y_0=\ln(x_0)$ et $y=\ln(x)$ de
sorte que $x_0=e^{y_0}$ et $x=e^y$. Puisque $x\neq x_0$, on a encore $e^{y}\neq e^{y_0}$ puis $y\neq y_0$. On peut donc écrire :
$$\dfrac{\ln(x)-\ln(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{y-y_0}{e^{y}-e_{y_0}}=\dfrac{1}{\dfrac{e^y-e^{y_0}}{y-y_0}}.$$
Dans cette démonstration, on admet la continuité de la fonction $\ln$ sur $]0,+\infty[$. Quand $x$ tend vers $x_0$, $\ln(x)$
tend vers $\ln(x_0)$ ou encore $y$ tend vers $y_0$. Par suite, puisque $\text{exp}'(y_0)=e^{y_0}\neq0$,
Par suite, la fonction $\ln$ est dérivable en $x_0$ et $\ln'(x_0)=\dfrac{1}{x_0}$.
Exercice 3. Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par :
pour tout réel $x$, $f(x)=x-1-\ln(x)$.
Etudier les variations de la fonction $f$ sur $]0,+\infty[$.
En déduire la position relative de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $\ln$
et de la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=x-1$.
Vérifier que $\mathscr{D}$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse $1$.
Solution.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ et pour
tout réel $x>0$,
$$f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}.$$
Pour tout réel $x$ de $]0,+\infty[$, $f'(x)$ est du signe de $1-x$. En tenant compte de
$$f(1)=1-1-\ln(1)=0,$$
on en déduit le tableau de variations de le fonction $f$.
La position relative de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ est donnée par le signe de $(x-1)-\ln(x)$ c'est-à-dire $f(x)$ en fonction de $x$.
D'après la question précédente, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0,1]$. Donc, si $0< x< 1$, alors
$f(x)>f(1)$ ou encore $f(x)>0$.
De même, la fonction $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ et donc si $x>1$, alors $f(x)>f(1)$ ou encore $f(x)>0$.
Enfin, $f(1)=0$.
En résumé, la fonction $f$ est strictement positive sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ et s'annule en $1$. On en déduit que la droite $\mathscr{D}$
est strictement au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$ sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ et d'autre part, la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ ont un point
commun et un seul, le point de coordonnées $(1,0)$ (car $\ln(1)=0$).
Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse $1$ est $y=\ln'(1)(x-1)+\ln(1)$. Or $\ln(1)=0$ et
$\ln'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ (car pour tout réel $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$). Une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse $1$
est donc $y=x-1$. Cette tangente est donc la droite $\mathscr{D}$.
2) Interprétation de $\ln(x)$. Nouvelle définition de la fonction $\ln$
Le théorème 5 nous fournit un autre éclairage sur la fonction logarithme népérien. Nous aurions aussi pu prendre
comme définition :
Définition 2.
La fonction $\ln$ est la primitive sur $]0,+\infty[$ de la fonction continue $x\mapsto\dfrac{1}{x}$
qui s'annule en $1$.
Dit autrement,
{\large pour tout réel $x>0$, $\ln(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\;dt$.}
Par exemple, le nombre $\ln(2)$ est égal à $\displaystyle\int_1^2\dfrac{1}{t}\;dt$ c'est-à-dire l'aire du domaine du plan situé entre l'axe des abscisses
et l'hyperbole d'équation $y=\dfrac{1}{x}$ d'une part et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ d'autre part.
Plus généralement, si $x\geqslant1$, $\ln(x)$ est l'aire de l'ensemble des points du plan situés entre l'axe des abscisses et la
courbe représentative de la fonction $t\mapsto\dfrac{1}{t}$ et dont l'abscisse est comprise entre $1$ et $x$,
et si $0< x< 1$, $\ln(x)$ est l'opposé de l'aire de l'ensemble des points du plan situés entre l'axe des abscisses et la
courbe représentative de la fonction $t\mapsto\dfrac{1}{t}$ et dont l'abscisse est comprise entre $x$ et $1$. Par exemple,
$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)=-0,693\ldots$.
Notons enfin une interprétation géométrique du nombre $e$. $e$ est le réel strictement plus grand que $1$ tel que le
domaine $\mathscr{D}$ ait une aire égale à une unité d'aire.
3) Sens de variation de la fonction logarithme népérien
Théorème 6.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
Démonstration. La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout réel
$x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.
$\ln'$ est strictement positive sur $]0,+\infty[$. Donc, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.
Le théorème précédent a des conséquences pour la résolution des équations et des inéquations.
Théorème 7.
Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $\ln(a)< \ln(b)\Leftrightarrow a< b$.
Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $\ln(a)=\ln(b)\Leftrightarrow a=b$.
Pour tout réel strictement positif $x$, $\ln(x)>0\Leftrightarrow x>1$, $\ln(x)=0\Leftrightarrow x=1$, $\ln(x)< 0\Leftrightarrow 0< x<1$.
Exercice 4.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x+3)=\ln(x+7)$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x+3)>\ln(x+7)$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x+3)< \ln(x+7)$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(5x+10)=\ln(x-2)$.
Solution.
Soit $x$ un réel.
\begin{align*}
\ln(2x+3)=\ln(x+7)&\Leftrightarrow x+7>0\;\text{et}\;2x+3=x+7\Leftrightarrow x=4\;\text{et}\;x+7>0\\
&\Leftrightarrow x=4\;(\text{car}\;4+7>0).
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation $\ln(2x+3)=\ln(x+7)$ est $\{4\}$.
Soit $x$ un réel.
\begin{align*}
\ln(2x+3)>\ln(x+7)&\Leftrightarrow x+7>0\;\text{et}\;2x+3>x+7\Leftrightarrow x>-7\;\text{et}\;x>4\\
&\Leftrightarrow x>4.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(2x+3)>\ln(x+7)$ est $]4,+\infty[$.
Soit $x$ un réel.
\begin{align*}
\ln(2x+3)< \ln(x+7)&\Leftrightarrow 2x+3>0\;\text{et}\;x+7>2x+3\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{2}\;\text{et}\;x<4\\
&\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}< x<4.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(2x+3)< \ln(x+7)$ est $\left]-\dfrac{3}{2},4\right[$.
Soit $x$ un réel.
\begin{align*}
\ln(5x+10)=\ln(x-2)&\Leftrightarrow x-2>0\;\text{et}\;5x+10=x-2\Leftrightarrow x=-3\;\text{et}\;x-2>0
\end{align*}
Puisque $-3-2$ n'est pas strictement supérieur à $0$, l'équation $\ln(5x+10)=\ln(x-2)$ n'a pas de solution.
Exercice 5. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $2^n\geqslant 10^9$.
Solution. Soit $n$ un entier naturel.
\begin{align*}
2^n\geqslant10^9&\Leftrightarrow \ln(2^n)\geqslant\ln(10^9)\;(\text{par stricte croissance de la fonction}\;\ln\;\text{sur}\;]0,+\infty[)\\
&\Leftrightarrow n\ln(2)\geqslant9\ln(10)\\
&\Leftrightarrow n\geqslant\dfrac{9\ln(10)}{\ln(2)}\;(\text{car}\;2>1\Rightarrow\ln(2)>\ln(1)\Rightarrow\ln(2)>0)\\
&\Leftrightarrow n\geqslant29,8\ldots\\
&\Leftrightarrow n\geqslant30\;(\text{car}\;n\;\text{est un entier naturel}).
\end{align*}
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $2^n\geqslant 10^9$ est $30$.
4) Limites de $\ln(x)$ en $0$ et $+\infty$
Théorème 8.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)=+\infty$ et
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln(x)=-\infty$.
Démonstration. Soit $A$ un réel. Pour $x> e^A$, on a $\ln(x)>\ln(e^A)$ ou encore $\ln(x)>A$. Ainsi, tout intervalle de
la forme $]A,+\infty[$ contient $\ln(x)$ pour $x$ suffisamment grand. Ceci montre que
$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)=+\infty.$$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)=+\infty$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}2\ln(x)=+\infty$. Ensuite,
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2-3=+\infty$. En additionnant les deux fonctions, on obtient
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2+2\ln(x)-3=+\infty$.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln(x)=-\infty$. D'autre part,
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et donc
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}-\dfrac{1}{x}=-\infty$. En additionnant les deux fonctions,
on obtient $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln(x)-\dfrac{1}{x}=-\infty$.
5) Deux théorèmes de croissances comparées
Quand $x$ tend vers $+\infty$, $\ln(x)$ tend vers $+\infty$ et $x$ tend vers $+\infty$. Nous ne savons donc momentanément pas calculer
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$ puisque nous sommes en présence d'une forme indéterminée. Le théorème suivant lève cette
indétermination et une autre indétermination.
Théorème 9.
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}x\ln(x)=0$.
Démonstration. En posant $X=\ln(x)$ de sorte que $x=e^X$, on obtient
$$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{X}{e^X}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{e^X/X}=0,$$
car $\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}\dfrac{e^X}{X}=+\infty$. Puis en posant $X=\dfrac{1}{x}$,
Les deux fonctions $x\mapsto \ln(x)$ et $x\mapsto x$ tendent vers $+\infty$ en croissant. Mais la croissance de la fonction $x\mapsto \ln(x)$
vers $+\infty$ est bien plus lente que celle de la fonction $x\mapsto x$. La fonction $x\mapsto x$ l'emporte sur la fonction $x\mapsto\ln(x)$
en $+\infty$ et on a de même, en $0$.
Pour tout réel $x>0$, $x-\ln(x)=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
D'après un théorème de croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et donc
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\dfrac{\ln(x)}{x}=1$.
En multipliant les deux fonctions, on obtient
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x-\ln(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)=+\infty$.
Pour tout réel $x>0$, $\ln(x)+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1+x\ln(x)}{x}=\dfrac{1}{x}\times(1+x\ln(x))$.
D'après un théorème de croissances comparées, $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}x\ln(x)=0$ et donc
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}1+x\ln(x)=1$.
En multipliant les deux fonctions, on obtient
$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln(x)+\dfrac{1}{x}=\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{1}{x}\times(1+x\ln(x))=+\infty$.
6) Graphe de la fonction logarithme népérien
On connaît déjà le sens de variation de la fonction logarithme népérien sur $]0,+\infty[$ ainsi que les limites de cette
fonction en $0$ et $+\infty$. On peut résumer ces différents résultats dans un tableau de variations.
Puisque $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\ln(x)=-\infty$, l'axe $(Oy)$ est asymptote à la courbe représentative de $\ln$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)=+\infty$ et que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien a la même allure que la courbe
représentative de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Attention, on peut montrer que $\ln(x)$ tend vers
$+\infty$ beaucoup lentement que $\sqrt{x}$ ou encore on peut montrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0$.
$\ln'(1)=\dfrac{1}{1}=1$. Ecrivons explicitement la limite que fournit cette égalité. Pour tout réel
strictement positif $x$, $\dfrac{\text{exp}(x)-\text{exp}(1)}{x-0}=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$ et donc
Ainsi, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $\ln$ au point de coordonnées $(1,0)$ est égal
à $1$. Cette tangente est donc la droite d'équation $y=x-1$.
Voici le graphe de la fonction logarithme népérien.
On va voir que le graphe de la fonction logarithme népérien se déduit simplement du graphe de la fonction
exponentielle. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ et $\mathscr{C}'$ la courbe représentative de la fonction
exponentielle.
Soient $x$ un réel strictement positif puis $y$ un réel. Soient $A$ le point de coordonnées $(x,y)$ et $B$ le point de
coordonnées $(y,x)$. Les points $A$ et $B$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite d'équation $y=x$.
De plus,
Ainsi, un point du plan appartient à la courbe représentative de la fonction $\ln$ si et seulement si son symétrique
par rapport à la droite d'équation $y=x$ appartient à la courbe représentative de la fonction exponentielle. Cela
signifie que les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $y=x$.
Ainsi, par exemple, les points de coordonnées respectives $(1,0)$ et $(e,1)$ appartiennent à la courbe représentative
de la fonction logarithme et leurs symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$, à savoir les points de
coordonnées respectives $(0,1)$ et $(1,e)$, appartiennent à la courbe représentative de la fonction exponentielle.
Exercice 8. Soit $(u_n)_{n\in\mbn^*}$ la suite définie par :
pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$.
Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $v_n=\ln\left(u_n\right)$.
Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $v_n=\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}$.
En déduire $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n$ puis $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$.
Solution.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
$$v_n=\ln\left(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right)=n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{1/n}\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}.$$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et donc, d'après une limite de cours, en posant $h=\dfrac{1}{n}$,
$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln\left(1+h\right)}{h}=1.$$
Enfin, pour tout entier naturel non nul $n$, $v_n=\ln(u_n)$ et donc $u_n=e^{v_n}$. Puisque $v_n$ tend vers $1$ quand $n$ tend
vers $+\infty$, on en déduit que $u_n$ tend vers $e^1=e$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Le théorème de dérivation d'une fonction composée fournit immédiatement :
Théorème 10.
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement positive sur $I$. Soit $f$
la fonction définie sur $I$ par :
}pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)=\ln(u(x))$.
La fonction $f$ est dérivable sur $I$ et
pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
On retiendra
}
{\large$(\ln(u))'=\dfrac{u'}{u}$.}
Exercice 9. Pour tout réel $x$ de $]-1,1[$, on pose :
$f(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$.
Montrer que $f$ est dérivable sur $]-1,1[$ et déterminer sa dérivée.
Solution. Pour $x\in]-1,1[$, posons $u(x)=\dfrac{1+x}{1-x}$ de sorte que pour tout $x$ de $]-1,1[$, $f(x)=\ln(u(x))$.
Puisque pour tout $x$ de $]-1,1[$, on a $1-x\neq0$, la fonction $u$ est dérivable sur $]-1,1[$ en tant que fonction
rationnelle définie sur $]-1,1[$. De plus, pour tout $x$ de $]-1,1[$, on $1+x>0$ et $1-x>0$ et donc, pour tout $x$
de $]-1,1[$, $u(x)>0$.
En résumé, la fonction $u$ est dérivable sur $]-1,1[$ et strictement positive sur $]-1,1[$. On en déduit que la fonction
$f$ est dérivable sur $]-1,1[$.
Les primitives sur $]0,+\infty[$ de la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto \ln(x)+k$ où $k$ est un réel.
Plus généralement, soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement positive sur $I$.
Les primitives sur $I$ de la fonction $x\mapsto \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto \ln(u(x))+k$ où $k$ est un réel.
On retiendra
{\large si $u>0$, une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln(u)$.}
Exercice 10. Dans chacun des cas suivants, justifier le fait que la fonction $f$ admet une primitive sur
l'intervalle $I$ puis fournir une primitive de $f$ :
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ sur $]-1,+\infty[$.
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty,0[$.
$f(x)=\dfrac{1}{2x-1}$ sur $\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[$.
$f(x)=\dfrac{1}{2x-1}$ sur $\left]-\infty,\dfrac{1}{2}\right[$.
$f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ sur $\mathbb{R}$.
Solution.
Pour $x>-1$, posons $u(x)=x+1$. Alors, $u$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$ puis pour tout réel $x>-1$,
$u'(x)=1$. Par suite, pour tout réel $x>-1$, $f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur
$]-1,+\infty[$. Une primitive de la fonction $f$ sur $]-1,+\infty[$ est la fonction $x\mapsto \ln(x+1)$.
Pour tout réel $x<0$, $f(x)=\dfrac{1}{x}=\dfrac{-1}{-x}$.
Pour $x< 0$, posons $u(x)=-x$. Alors, $u$ est dérivable sur $]-\infty,0[$ puis pour tout réel $x< 0$,
$u'(x)=-1$. Par suite, pour tout réel $x< 0$, $f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur
$]-\infty,0[$. Une primitive de la fonction $f$ sur $]-\infty,0[$ est la fonction $x\mapsto \ln(-x)$.
Pour tout réel $x>\dfrac{1}{2}$, $f(x)=\dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{2x-1}$.
Pour $x>\dfrac{1}{2}$, posons $u(x)=2x-1$. Alors, $u$ est dérivable sur $\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ puis pour tout réel $x>\dfrac{1}{2}$,
$u'(x)=2$. Par suite, pour tout réel $x>\dfrac{1}{2}$, $f(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'(x)}{u(x)}$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur
$\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[$. Une primitive de la fonction $f$ sur $\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ est la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{2}\ln(2x-1)$.
Pour tout réel $x>\dfrac{1}{2}$, $f(x)=\dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{2x-1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-2}{-2x+1}$.
Pour $x< \dfrac{1}{2}$, posons $u(x)=-2x+1$. Alors, $u$ est dérivable sur $\left]-\infty,\dfrac{1}{2}\right[$ puis pour tout réel $x< \dfrac{1}{2}$,
$u'(x)=-2$. Par suite, pour tout réel $x< \dfrac{1}{2}$, $f(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'(x)}{u(x)}$. De plus, la fonction $u$ est strictement positive sur
$\left]-\infty,\dfrac{1}{2}\right[$. Une primitive de la fonction $f$ sur $\left]-\infty,\dfrac{1}{2}\right[$ est la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{2}\ln(-2x+1)$.
Pour tout réel $x$, posons $u(x)=e^x+1$. Alors, $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis pour tout réel $x$,
$u'(x)=e^x$. Par suite, pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$. De plus, pour tout réel $x$, $e^x+1>1$ et en particulier,
la fonction $u$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$. Une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $x\mapsto \ln\left(e^x+1\right)$.
IV. Le logarithme décimal
Définition 3.
Soit $x$ un réel strictement positif.
Le logarithme décimal du réel $x$, noté $\log_{10}(x)$ ou plus simplement $\log(x)$, est
\large$\log(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.
On note que $\log(10)=\dfrac{\ln(10)}{\ln(10)}=1$ et plus généralement, pour tout entier relatif $n$,
Ainsi, le rôle que tenait le nombre $e$ pour la fonction logarithme népérien ($\ln(e)=1$ et plus généralement, pour
tout entier relatif $n$, $\ln\left(e^n\right)=n$) est maintenant tenu par le nombre $10$ pour la fonction logarithme décimal.
Voici un tableau de valeurs :
$x$
$0,001$
$0,01$
$0,1$
$1$
$10$
$47$
$89$
$100$
$1000$
$\log(x)$
$-3$
$-2$
$-1$
$0$
$1$
$1,67\ldots$
$1,94\ldots$
$2$
$3$
Le logarithme décimal a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme népérien ($\log(1)=0$,
$\log(x\times y)=\log(x)+\log(y)$, \ldots).
De la même manière que l'on définit $e^x$ pour $x$ réel, on peut définir $10^x$ pour $x$ réel de sorte que les deux fonctions
$x\mapsto\log(x)$ et $x\mapsto10^x$ sont réciproques l'une de l'autre mais on doit noter que la fonction $x\mapsto10^x$ n'est pas au
programme de la classe de terminale S en mathématiques.
Les physiciens utilisent le logarithme décimal dans différentes situations. Citons
le pH pour mesurer l'acidité. Le pH est : moins le logarithme décimal de la concentration en ions $H_3O^+$.
les décibels pour mesurer par exemple les intensités sonores. Si $P_0$ et $P_1$ sont deux puissances, la valeur du rapport
de puissances exprimé en decibels (dB) est $10\log\left(\dfrac{P_1}{P_0}\right)$.