On rappelle ici les principaux résultats en trigonométrie établis dans les classes précédentes.
Le plan est rapporté à un repère orthormé direct $\left(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}\right)$ ou encore $(OXY)$. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct.
En \og enroulant \fg~l'axe des réels autour du cercle trigonométrique, on constate qu'à tout réel $x$ est associé un et un seul point du cercle trigonométrique. Inversement, tout point du cercle trigonométrique est associé à une infinité de réels. Plus précisément, si le point $M$ du cercle trigonométrique est associé à un certain réel $x_0$, alors les réels associés au point $M$ sont les réels de la forme $x_0+2k\pi$ où $k$ est un entier relatif.
Si $M$ est un point du cercle trigonométrique, tout réel $x$ associé à $M$ par ce procédé est par définition une mesure en radian de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}\right)$. L'ensemble des mesures en radian de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}\right)$ est donc l'ensemble des réels de la forme $x_0+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, où $x_0$ est une mesure en radian de l'angle orienté $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}\right)$.
Solution. Les mesures en radian d'un angle de mesure $\dfrac{148\pi}{3}$ sont les réels de la forme $\dfrac{148\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Soit $k$ un entier relatif.
\begin{align*} 0\leqslant\dfrac{148\pi}{3}+2k\pi<2\pi&\Leftrightarrow-\dfrac{148\pi}{3}\leqslant 2k\pi<-\dfrac{148\pi}{3}+2\pi\\ &(\text{en soustrayant}\;\dfrac{148\pi}{3}\;\text{à chaque membre de l'encadrement})\\ &\Leftrightarrow-\dfrac{148\pi}{3\times2\pi}\leqslant k<-\dfrac{148\pi}{3\times2\pi}+\dfrac{2\pi}{2\pi}\;(\text{en divisant chaque membre de l'encadrement par}\;2\pi)\\ &\Leftrightarrow-\dfrac{148}{6}\leqslant k<-\dfrac{148}{6}+1\Leftrightarrow-24,66\ldots\leqslant k<-23,66\ldots\\ &\Leftrightarrow k=-24\;(\text{car}\;k\;\text{est un entier relatif}). \end{align*}Ensuite, $\dfrac{148\pi}{3}+2(-24)\pi=\dfrac{148\pi}{3}-48\pi=\dfrac{148\pi}{3}-\dfrac{144\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$.
La mesure en radian d'un angle de mesure $\dfrac{148\pi}{3}$ qui appartient à $[0,2\pi[$ est $\dfrac{4\pi}{3}$.
En retranchant encore un tour, on obtient la mesure en radian d'un angle de mesure $\dfrac{148\pi}{3}$ qui appartient à $]-\pi,\pi]$ :
$$\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=\dfrac{4\pi}{3}-\dfrac{6\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}.$$Solution. $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ et donc $\cos(a)$ est l'un des deux réels $\dfrac{4}{5}$ ou $-\dfrac{4}{5}$.
Comme $a\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$, on a en particulier $\cos(a)<0$ et finalement
$\cos(a)=-\dfrac{4}{5}$.
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
Remarque. La ligne des sinus s'écrit : $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$.
En effet, les réels $x$ et $x+2\pi$ sont associés à un même point du cercle trigonométrique.
On visualise ce résultat sur le dessin suivant :
L'\og angle \fg~supplémentaire de $x$ est l'\og angle \fg~qu'il faut rajouter à $x$ pour obtenir l'\og angle plat \fg~à savoir $\pi$.
Cet angle supplémentaire a pour mesure $\pi-x$ puisque $x+\pi-x=\pi$.
On visualise le résultat précédent sur le dessin suivant :
On visualise le résultat précédent sur le dessin suivant :
L'\og angle \fg~complémentaire de $x$ est l'\og angle \fg~qu'il faut rajouter à $x$ pour obtenir l'\og angle droit \fg~à savoir $\dfrac{\pi}{2}$. On visualise le résultat précédent sur le dessin suivant :
Solution.
Soit $k$ un entier relatif.
\begin{align*} -\pi\leqslant-\dfrac{121\pi}{6}+2k\pi<\pi&\Leftrightarrow\dfrac{121\pi}{6}-\pi\leqslant2k\pi<\dfrac{121\pi}{6}+\pi\Leftrightarrow\dfrac{115\pi}{6}\leqslant k<\dfrac{127\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow\dfrac{115}{12}\leqslant k<\dfrac{127}{12}\Leftrightarrow9,58\ldots\leqslant k<10,58\ldots\\ &\Leftrightarrow k=10. \end{align*}Par suite,
\begin{align*} \sin\left(-\dfrac{121\pi}{6}\right)&=\sin\left(-\dfrac{121\pi}{6}+10\times2\pi\right)=\sin\left(-\dfrac{121\pi}{6}+\dfrac{120\pi}{6}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\\ &=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}. \end{align*}Solution.
\begin{align*} A&=-\cos(\pi-x)+2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-7\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2\sin(x+3\pi)+3\sin(-x)\\ &=-(-\cos(x))+2\cos(x)-7\cos(x)+2\sin(x+\pi)+3(-\sin(x))=-4\cos(x)-2\sin(x)-3\sin(x)\\ &=-4\cos(x)-5\sin(x). \end{align*}On a montré que
pour tout réel $x$, $A=-4\cos(x)-5\sin(x)$.
On rappelle maintenant les formules d'addition et de duplication établies en classe de première S.
Solution.
\begin{align*} \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)&=\cos\left(\dfrac{3\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}, \end{align*}et
\begin{align*} \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)&=\sin\left(\dfrac{3\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. \end{align*}On a montré que
$\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Solution. Soit $a$ un réel.
\begin{align*} \cos\left(a-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos(a)+\cos\left(a+\dfrac{2\pi}{3}\right)&=\cos\left(a\right)\times\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(a\right)\times\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos(a)\\ &+\cos\left(a\right)\times\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)-\sin\left(a\right)\times\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\\ &=-\dfrac{1}{2}\cos(a)+\cos(a)+\dfrac{1}{2}\cos(a)=0. \end{align*}On a montré que
pour tout réel $a$, $\cos\left(a-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\cos(a)+\cos\left(a+\dfrac{2\pi}{3}\right)=0$.
Solution. D'après les formules de duplication
$$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1.$$Par suite, $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$. On en déduit que $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ est l'un des deux nombres $\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ ou $-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
De plus, $\dfrac{\pi}{8}$ appartient à l'intervalle $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\geqslant0$. Par suite,
$\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
De même,
$$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=1-2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right).$$Par suite, $\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}$. On en déduit que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ est l'un des deux nombres $\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ ou $-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.
De plus, $\dfrac{\pi}{8}$ appartient à l'intervalle $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et donc $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\geqslant0$. Par suite,
$\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.
Solution.
Les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\cos(x)=-\dfrac{1}{2}$ sont les nombres de la forme $\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ et les nombres de la forme $-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Cherchons maintenant parmi ces nombres ceux qui appartiennent à $[0,2\pi]$. Soit $k$ un entier relatif.
$$0\leqslant\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\leqslant2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{2\pi}{3}\leqslant2k\pi\leqslant-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\leqslant k\leqslant-\dfrac{1}{3}+1\Leftrightarrow k=0.$$Pour $k=0$, on obtient la solution $\dfrac{2\pi}{3}$. Ensuite,
$$0\leqslant-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\leqslant2\pi\Leftrightarrow\dfrac{2\pi}{3}\leqslant2k\pi\leqslant\dfrac{2\pi}{3}+2\pi\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\leqslant k\leqslant\dfrac{1}{3}+1\Leftrightarrow k=1.$$Pour $k=1$, on obtient la solution $\dfrac{4\pi}{3}$.
Les solutions dans $[0,2\pi]$ de l'équation $\cos(x)=-\dfrac{1}{2}$ sont $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
Les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ sont les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ et les nombres de la forme $\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Cherchons maintenant parmi ces nombres ceux qui appartiennent à $[0,2\pi]$. Soit $k$ un entier relatif.
$$0\leqslant\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{\pi}{6}\leqslant2k\pi\leqslant-\dfrac{\pi}{6}+2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{1}{12}\leqslant k\leqslant-\dfrac{1}{12}+1\Leftrightarrow k=0.$$Pour $k=0$, on obtient la solution $\dfrac{\pi}{6}$. Ensuite,
$$0\leqslant\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\leqslant2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{5\pi}{6}\leqslant2k\pi\leqslant-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{5}{12}\leqslant k\leqslant-\dfrac{5}{12}+1\Leftrightarrow k=0.$$Pour $k=0$, on obtient la solution $\dfrac{5\pi}{6}$.
Les solutions dans $[0,2\pi]$ de l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ sont $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$.
Les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\sin(3x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont les nombres de la forme $-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$ et les nombres de la forme $\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$.
Cherchons maintenant parmi ces nombres ceux qui appartiennent à $[0,2\pi]$. Soit $k$ un entier relatif.
\begin{align*} 0\leqslant-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant2\pi&\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}\leqslant\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant\dfrac{\pi}{9}+2\pi\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}\times\dfrac{3}{2\pi}\leqslant k\leqslant\dfrac{\pi}{9}\times\dfrac{3}{2\pi}+2\pi\times\dfrac{3}{2\pi}\\ &\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\leqslant k\leqslant\dfrac{1}{6}+3\Leftrightarrow k\in\{1;2;3\}. \end{align*}Pour $k=1$, $k=2$ ou $k=3$, on obtient les solutions $\dfrac{5\pi}{9}$, $\dfrac{11\pi}{9}$ et $\dfrac{17\pi}{9}$. Ensuite,
\begin{align*} 0\leqslant\dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant2\pi&\Leftrightarrow-\dfrac{4\pi}{9}\leqslant\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant-\dfrac{4\pi}{9}+2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{4\pi}{9}\times\dfrac{3}{2\pi}\leqslant k\leqslant-\dfrac{4\pi}{9}\times\dfrac{3}{2\pi}+2\pi\times\dfrac{3}{2\pi}\\ &\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}\leqslant k\leqslant-\dfrac{2}{3}+3\Leftrightarrow k\in\{0;1;2\}. \end{align*}Pour $k=0$, $k=1$ ou $k=2$, on obtient les solutions $\dfrac{4\pi}{9}$, $\dfrac{10\pi}{9}$ et $\dfrac{16\pi}{9}$.
Les solutions dans $[0,2\pi]$ de l'équation $\sin(3x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont $\dfrac{4\pi}{9}$, $\dfrac{5\pi}{9}$, $\dfrac{10\pi}{9}$, $\dfrac{11\pi}{9}$, $\dfrac{16\pi}{9}$ et $\dfrac{17\pi}{9}$.
Les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{3}+4k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ et les nombres de la forme $-\dfrac{\pi}{3}+4k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Cherchons maintenant parmi ces nombres ceux qui appartiennent à $[0,2\pi]$. Soit $k$ un entier relatif.
\begin{align*} 0\leqslant-\dfrac{\pi}{3}+4k\pi\leqslant2\pi&\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}\leqslant4k\pi\leqslant\dfrac{\pi}{3}+2\pi\Leftrightarrow\dfrac{1}{12}\leqslant k\leqslant\dfrac{7}{12} \end{align*}Il n'existe pas d'entier relatif $k$ tel que $\dfrac{1}{12}\leqslant k\leqslant\dfrac{7}{12}$ et donc aucun des nombres de la forme $-\dfrac{\pi}{3}+4k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, n'appartient à l'intervalle $[0,2\pi]$. Ensuite,
\begin{align*} 0\leqslant\dfrac{\pi}{3}+4k\pi\leqslant2\pi&\Leftrightarrow-\dfrac{\pi}{3}\leqslant4k\pi\leqslant\dfrac{\pi}{3}+2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{1}{12}\leqslant k\leqslant\dfrac{5}{12}\Leftrightarrow k=0. \end{align*}Pour $k=0$, on obtient les solutions $\dfrac{\pi}{3}$.
L'équation $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ admet une solution et une seule dans $[0,2\pi]$ à savoir $\dfrac{\pi}{3}$.
Les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\sin(x)=\cos(2x)$ sont les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$ et les nombres de la forme $-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$ qui appartiennent à $[0,2\pi]$ sont obtenus quand $k\in\{0;1;2\}$. Ce sont les nombres $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$.
Les nombres de la forme $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$ qui sont dans $[0,2\pi]$ sont obtenus quand $k=1$. C'est le nombre $\dfrac{3\pi}{2}$.
Finalement, les solutions dans $[0,2\pi]$ de l'équation $\sin(x)=\cos(2x)$ sont $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$.
Pour chaque réel $x$, on peut calculer le réel $\sin(x)$. On définit ainsi sur $\mathbb{R}$ une nouvelle fonction : la fonction sinus. Les différents résultats de première S sur les arcs associés fournissent entre autres des propriétés de périodicité et de parité de cette fonction.
Commentaire. On ne doit pas dire \og la période de la fonction sinus est $2\pi$ \fg~mais on doit
dire \og une période de la fonction sinus est $2\pi$ \fg~car il n'y a pas unicité d'une période.
Les nombres $4\pi$, $-2\pi$ et plus généralement tout nombre de la forme $2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ sont des périodes de la fonction
sinus. On peut montrer que $2\pi$ est la plus petite période strictement positive de la fonction sinus.
Solution. Soit $x$ un réel.
$$f\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(3\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=f(x).$$Ainsi, pour tout réel $x$, $f\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=f(x)$ et donc $f$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{3}$.
Commentaire. Attention à l'accent aigu (et pas grave) sur les mots \og période \fg~et \og périodique \fg.
Solution. Soit $x$ un réel.
\begin{align*} f(-x)&=(\sin(-x))^2-\sin(-2x)\sin(-3x)=(-\sin(x))^2-(-\sin(2x))(-\sin(3x))\\ &=\sin^2(x)-\sin(2x)\sin(3x)=f(x). \end{align*}Ainsi, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$ et donc la fonction $f$ est paire.
Dans ce paragraphe, nous allons déterminer la dérivée de la fonction sinus. Nous avons besoin de deux résultats préliminaires :
Commentaire. Les physiciens ont l'habitude d'utiliser le résultat $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ sous la forme : \og pour les petites valeurs de $\theta$, $\sin(\theta)$ vaut environ $\theta$ \fg. C'est en particulier ce qu'ils font quand ils analysent le mouvement du pendule simple.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}\right)$ ou encore $(OXY)$.
Soit $x\in\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$. Soient $A$, $B$ et $M$ les points de coordonnées respectives $(1,0)$, $\left(1,\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)$ et $(\cos(x),\sin(x))$.
Tout d'abord, $Y_B=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}x_B$ et $Y_M=\sin(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\times\cos(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}x_M$. Donc les points $O$, $B$ et $M$ sont alignés sur la droite d'équation $Y=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}X$.
$x$ est la longueur de l'arc de cercle joignant le point $A$ au point $M$ et comme le plus court chemin d'un point à un autre est la ligne droite, on a déjà $x\geqslant AM$. D'autre part, si on note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur $(OX)$, $H$ a pour coordonnées $(\cos(x),0)$. D'après le théorème de PYTHAGORE,
Finalement,
D'autre part, l'aire du triangle $OAB$ est supérieure ou égale à l'aire du secteur angulaire $OAM$. L'aire du triangle $OAB$ est $\dfrac{OA\times OB}{2}=\dfrac{1\times(\sin(x)/\cos(x))}{2}=\dfrac{\sin(x)}{2\cos(x)}$. On rappelle d'autre part que l'aire d'un secteur angulaire de rayon $R$ est d'angle en radian $\alpha$ est $\dfrac{\alpha R^2}{2}$. Donc l'aire du secteur angulaire $OAM$ est $\dfrac{1^2\times x}{2}=\dfrac{x}{2}$. On en déduit que
En résumé, pour tout réel $x$ de $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\sin(x)\leqslant x\leqslant\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$. La deuxième inégalité s'écrit successivement $x\leqslant\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ puis $x\cos(x)\leqslant\sin(x)$ et donc $\cos(x)\leqslant\dfrac{\sin(x)}{x}$ car $x>0$. On a donc montré que
Il est clair géométriquement que quand $x$ tend vers $0$, $\cos(x)$ tend vers $1$. L'encadrement ci-dessus et le théorème des gendarmes permettent alors d'affirmer que $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$. Ensuite,
$$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x<0}}\dfrac{\sin(x)}{x}=\displaystyle\lim_{\substack{y\rightarrow0\\ y>0}}\dfrac{\sin(-y)}{-y}=\displaystyle\lim_{\substack{y\rightarrow0\\ y>0}}\dfrac{-\sin(y)}{-y}=\displaystyle\lim_{\substack{y\rightarrow0\\ y>0}}\dfrac{\sin(y)}{y}=1,$$et finalement
Il nous reste à vérifier que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}=0$. Nous vous proposons deux démonstrations.
Dans ces deux démonstrations, il s'agit de ramener le calcul $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}$ au calcul de
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin(x)}{x}$ grâce à des formules de trigonométrie.
1 ère démo.
Soit $x$ un réel non nul. On sait que $\cos(x)=\cos\left(2\times\dfrac{x}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$ et donc $\cos(x)-1=-2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)$. On en déduit que
$$\dfrac{\cos(x)-1}{x}=\dfrac{-2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x}=\dfrac{-2}{x}\times\left(\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^2\times\left(\dfrac{x}{2}\right)^2=-\dfrac{x}{2}\left(\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{x}{2}}\right)^2,$$puis en posant $y=\dfrac{x}{2}$ de sorte que $x=2y$,
2 ème démo. Pour tout réel $x$ appartenant à $\left]-\pi,0\right[\cup]0,\pi[$, le nombre $\cos(x)+1$ n'est pas nul et
\begin{align*} \dfrac{\cos(x)-1}{x}&=\dfrac{(\cos(x)-1)(\cos(x)+1)}{x(\cos(x)+1)}=\dfrac{\cos^2(x)-1}{x(\cos(x)+1)}=\dfrac{-\sin^2(x)}{x(\cos(x)+1)}\\ &=\dfrac{-\sin(x)\times\sin(x)}{x\times(\cos(x)+1)}=-\dfrac{\sin(x)}{x}\times\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)+1} \end{align*}Ensuite, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)+1}=\dfrac{0}{1+1}=0$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)-1}{x}=1\times0$.
Nous pouvons maintenant donner la dérivée de la fonction sinus.
Remarque. Puisque la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$, la fonction sinus est en particulier continue sur $\mathbb{R}$.
Plus généralement, donnons nous un réel $x_0$. Pour $h\neq 0$, on a
\begin{align*} \dfrac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}&=\dfrac{\sin(x_0)\cos(h)+\cos(x_0)\sin(h)-\sin(x_0)}{h}\\ &=\sin(x_0)\dfrac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x_0)\dfrac{\sin(h)}{h}. \end{align*}Quand $h$ tend vers $0$, le rapport $\dfrac{\cos(h)-1}{h}$ tend vers $0$ et le rapport $\dfrac{\sin(h)}{h}$ tend vers $1$. On en déduit que, quand $h$ tend vers $0$, le rapport $\dfrac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}$ tend vers $0\times \sin(x_0)+1\times\cos(x_0)=\cos(x_0)$. Ceci démontre la dérivabilité de la fonction sinus en $x_0$ et le fait que $\sin'(x_0)=\cos(x_0)$.
Solution. La fonction $x\mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et la fonction $y\mapsto\sin(y)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Donc la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f$ est de la forme $\sin\circ u$ où pour tout réel $x$, $u(x)=x^2$. Donc, pour tout réel $x$,
$$f'(x)=u'(x)\times\sin'(u(x))=2x\cos(x^2).$$$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=2x\cos(x^2)$.
On rappelle que pour tout réel $x$, $-1\leqslant \sin(x)\leqslant1$. On peut donc se contenter d'un axe des ordonnées allant de $-1,5$ à $1,5$. On rappelle aussi que $\pi=3,14\ldots$, $\dfrac{\pi}{2}=1,57\ldots$ et $2\pi=6,28\ldots$
Utilisation de la périodicité. La fonction $x\mapsto\sin(x)$ est $2\pi$-périodique. Donc, le point de la courbe représentative de la fonction sinus d'abscisse $x+2\pi$ a même ordonnée que le point de la courbe représentative de la fonction sinus d'abscisse $x$.
Cela a pour conséquence qu'une fois tracé le graphe de la fonction sinus sur un intervalle de longueur $2\pi$ comme $[-\pi,\pi]$ par exemple, on obtient le graphe complet en répétant ce morceau déjà tracé ou encore en déplaçant cette portion de courbe horizontalement d'une longueur de $2\pi$ une ou plusieurs fois vers la droite ou vers la gauche .
La périodicité de la fonction permet également de réduire son étude à l'intervalle $[-\pi,\pi]$.
Utilisation de la parité. La fonction sinus est impaire et donc l'origine $O$ est un centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction sinus. On peut réduire l'étude de la fonction sinus à l'intervalle $[0,\pi]$.
Sens de variation sur $[0,\pi]$. La fonction sinus est dérivable sur $[0,\pi]$ et pour tout réel $x$ de $[0,\pi]$, $\sin'(x)=\cos(x)$. La fonction cosinus est strictement positive sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[$, strictement négative sur $\left]\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ et s'annule en $\dfrac{\pi}{2}$. On en déduit le tableau de variation de la fonction sinus.
On note que la fonction sinus est strictement croissante sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis, la fonction sinus étant impaire,
Tangente parallèle à $(Ox)$. Les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction sinus en lesquels la tangente est parallèle à $(Ox)$ sont les solutions de l'équation $f'(x)=0$. Pour $x\in[0,\pi]$,
$$f'(x)=0\Leftrightarrow\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}.$$Donc, le graphe de la fonction sinus sur $[0,\pi]$ admet un et un seul point en lequel la tangente est parallèle à $(Ox)$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$.
Tangente en $O$. $\sin(0)=0$ et donc le graphe de la fonction sinus passe par $O$. $\sin'(0)=\cos(0)=1$ et donc la tangente au graphe de la fonction sinus en $O$ est la droite d'équation $y=x$.
Symétrie par rapport à la droite $x=\dfrac{\pi}{2}$. Pour tout réel $x$ de $[0,\pi]$, $\sin(\pi-x)=\sin(x)$. Cela se traduit par le
fait que les points d'abscisse $x$ et $\pi-x$ ont la même ordonnée. Comme le milieu de $x$ et de $\pi-x$ est $\dfrac{x+\pi-x}{2}=\dfrac{\pi}{2}$,
cela signifie que les points d'abscisse $x$ et $\pi-x$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Finalement, le graphe de la fonction sinus admet la droite d'équation $x=\dfrac{\pi}{2}$ pour axe de symétrie.
Graphe sur $[0,\pi]$.
Graphe de la fonction sinus. La courbe obtenue s'appelle une sinusoïde.
L'étude de la fonction cosinus se déduit entre autres de l'étude de la fonction sinus à partir de l'égalité
Cette égalité signifie que le point d'abscisse $x$ de la courbe représentative de la fonction cosinus a même ordonnée que le point d'abscisse $x+\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction sinus. On obtient donc un point de la courbe représentative de la fonction cosinus en déplaçant horizontalement un point du graphe de la fonction sinus d'une longueur de $\dfrac{\pi}{2}$ vers la gauche.
En déplaçant le graphe de la fonction sinus horizontalement de $\dfrac{\pi}{2}$ vers la gauche, on obtient
et donc, le graphe de la fonction cosinus est
On retrouve la $2\pi$-périodicité de la fonction cosinus. La parité de la fonction cosinus est aussi en évidence : la fonction cosinus est paire et donc l'axe des ordonnées est un axe de symétrie du graphe de la fonction cosinus.
Puisque la fonction cosinus est paire et $2\pi$-périodique, on peut se contenter de l'étudier sur $[0,\pi]$. Sa dérivée est la fonction sinus qui est strictement positive sur $]0,\pi[$ et s'annule en $0$ et $\pi$. Le tableau de variation de la fonction cosinus sur $[0,\pi]$ est
En particulier,
Enfin, la dérivée de la fonction cosinus qui est la fonction sinus s'annule en $0$, $\pi$ et plus généralement en tous les nombres de la forme $k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Cela se traduit pour le graphe de la fonction cosinus par une tangente parallèle à l'axe des abscisses en les points d'abscisses $k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
Périodicité. Pour tout réel $x$,
La fonction $f$ est périodique de période $2\pi$.
Parité. Pour tout réel $x$,
La fonction $f$ est paire. Son graphe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Domaine d'étude. Puisque la fonction $f$ est $2\pi$-périodique, on se contente de l'étudier sur un intervalle de longueur $2\pi$ comme $[-\pi,\pi]$ par exemple. De plus, la fonction $f$ est paire et on se contente de l'étudier sur $[0,\pi]$.
Dérivée. La fonction $f$ est dérivable sur $[0,\pi]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0,\pi]$ et pour tout réel $x$ de $[0,\pi]$,
\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2}\times(-2\sin(2x))+\sin(x)=-\sin(2x)+\sin(x)=-2\sin(x)\cos(x)+\sin(x)\\ &=\sin(x)(-2\cos(x)+1). \end{align*}Sens de variations de $f$. Soit $x$ un réel de $[0,\pi]$.
\begin{align*} f'(x)=0&\Leftrightarrow\sin(x)=0\;\text{ou}\;-2\cos(x)+1=0\Leftrightarrow\sin(x)=0\;\text{ou}\;\cos(x)\dfrac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow x\in\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\pi\right\}. \end{align*}Pour tout réel $x$ de $]0,\pi[$, $\sin(x)>0$ et donc pour tout réel $x$ de $]0,\pi[$, $f'(x)$ est du signe de $-2\cos(x)+1$. Pour tout réel $x$ de $]0,\pi[$,
\begin{align*} -2\cos(x)+1>0&\Leftrightarrow-2\cos(x)>-1\Leftrightarrow2\cos(x)<1\Leftrightarrow\cos(x)<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\cos(x)<\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\ &\Leftrightarrow x>\dfrac{\pi}{3}\;(\text{par stricte décroissance de la fonction cosinus sur}\;[0,\pi]). \end{align*}La dérivée de $f$ est donc strictement négative sur $\left]0,\dfrac{\pi}{3}\right[$, strictement positive sur $\left]\dfrac{\pi}{3},\pi\right[$ et
s'annule en $0$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\pi$.
On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :
$f(0)=\dfrac{1}{2}\cos(0)-\cos(0)=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}$. $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}$ et
$f(\pi)=\dfrac{1}{2}\cos(2\pi)-\cos(\pi)=\dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{3}{2}$.
Graphe de $f$.
Les fonctions du type $t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)$ interviennent en physique dans un certain nombre de situations comme
dans l'étude du pendule simple par exemple. La variable s'appelle $t$ car elle désigne le temps.
$A$ est l'amplitude, $\omega$ est la pulsation et $\varphi$ est la phase.
Modifier $\omega$ revient à modifier la période de la fonction :
La fonction $t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)$ est $T$-périodique où $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$. Si $\omega$ augmente, $T$ diminue.
Exemple de tracé avec $A=2$, $\omega=3$ et $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$.
On rappelle le graphe de la fonction $t\mapsto\cos(t)$.
Voici le tracé du graphe de la fonction $t\mapsto\cos(\omega t)=\cos(3t)$. En augmentant $\omega$, la fréquence augmente ou encore la période diminue
Voici le tracé du graphe de la fonction $t\mapsto\cos(\omega t+\varphi)=\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)$. Le graphe se déplace horizontalement.
Voici le tracé du graphe de la fonction $t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)=2\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)$. Les ordonnées sont multipliées par
$2$.
L'amplitude de la sinusoïde augmente.
Donc $F$ est une primitive de la fonction cosinus sur $\mathbb{R}$. On sait alors que les primitives de la fonction cosinus sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\sin(x)+k$ où $k$ est un réel.
2) De même, la fonction $F~:~x\mapsto-\cos(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$,
$$F'(x)=-(-\sin(x))=\sin(x).$$Donc $F$ est une primitive de la fonction sinus sur $\mathbb{R}$. On sait alors que les primitives de la fonction sinus sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto-\cos(x)+k$ où $k$ est un réel.
Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \cos(ax+b)$ sur $\mathbb{R}$. On sait alors que les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto \cos(ax+b)$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+k$ où $k$ est un réel.
b) Pour tout réel $x$, posons $F(x)=-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)$. La fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et d'après le théorème 14, pour tout réel $x$
$$F'(x)=-\dfrac{1}{a}\times(-a\sin(ax+b))=\sin(ax+b).$$Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \cos(ax+b)$ sur $\mathbb{R}$. On sait alors que les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto \cos(ax+b)$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+k$ où $k$ est un réel.
2) a) Pour tout réel $x$ de $I$, posons $F(x)=\sin(u(x))$. Puisque la fonction $u$ est dérivable sur $I$, il en est de même de la fonction $F$ d'après le théorème 14, et pour tout réel $x$ de $I$
$$F'(x)=u'(x)\cos(u(x)).$$Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $x\mapsto u'(x)\cos(u(x))$ sur $I$. On sait alors que les primitives sur $I$ de la fonction $x\mapsto u'(x)\cos(u(x))$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto\sin(u(x))+k$ où $k$ est un réel.
b) Pour tout réel $x$ de $I$, posons $F(x)=-\cos(u(x))$. Puisque la fonction $u$ est dérivable sur $I$, il en est de même de la fonction $F$ d'après le théorème 14, et pour tout réel $x$ de $I$
$$F'(x)=-(-u'(x)\sin(u(x)))=u'(x)\sin(u(x)).$$Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $x\mapsto u'(x)\sin(u(x))$ sur $I$. On sait alors que les primitives sur $I$ de la fonction $x\mapsto u'(x)\sin(u(x))$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto-\cos(u(x))+k$ où $k$ est un réel.
Remarque. Avec les deux derniers théorèmes s'achèvent la liste des formules de primitives de terminale S.
Solution.
Solution.
Pour tout réel $x$, $f_1(x)=\dfrac{1}{2}\times2x\sin(x^2+1)$. Si on pose pour tout réel $x$, $u(x)=x^2+1$, alors pour tout réel $x$,
$$2x\sin(x^2+1)=u'\sin(u(x)).$$Une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto2x\sin(x^2+1)$ est donc la fonction $x\mapsto-\cos(x^2+1)$ puis une primitive de la fonction $f_1$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $x\mapsto-\dfrac{1}{2}\cos(x^2+1)$.
Pour tout réel $x$, $f_2(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times\cos\left(\sqrt{x}\right)$. Si on pose pour tout réel strictement positif $x$, $u(x)=\sqrt{x}$, alors pour tout réel strictement positif $x$,
$$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times\cos\left(\sqrt{x}\right)=u'\cos(u(x)).$$Une primitive de la fonction $f_2$ sur $]0,+\infty[$ est la fonction $x\mapsto\sin\left(\sqrt{x}\right)$.