Antilles Guyane 2008. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2

Partie A

1. $11\times (-7) - 26\times (-3) = -77 + 78 = 1$. Donc

   le couple $(x_0,y_0)=(—7, —3)$ est solution de $(E)$.



2. La question 1) et le théorème de \textsc{Bézout} permettent d'affirmer que $11$ et $26$ sont deux entiers premiers entre eux.

   Soit alors $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs.
   Si le couple $(x,y)$ est solution de (E), on a $11x — 26y = 1=11x_0 — 26y_0$ et donc $11 (x-x_0) = 26(y -y_0)$ $(*)$.
   Mais alors l'entier $26$ divise l'entier $11(x-x_0)$ et puisque $26$ est premier à $11$, $26$ divise $x-x_0$.
   On en déduit qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0 = 26k$ ou encore $x =x_0+ 26k$.
   De même, il existe un entier relatif $k'$ tel que $y =y_0 + 11k'$.

   Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x =x_0+ 26k$ et $y =y_0+ 11k'$. Alors

   \begin{align*} 11x-26y = 1&\Leftrightarrow 11(x_0+ 26k)-26(y_0 + 11k') = 1\Leftrightarrow 11x_0-26y_0+11\times26(k-k')=1\\ &\Leftrightarrow 1+11\times26(k-k')=1\Leftrightarrow 11\times26(k-k')=0\Leftrightarrow k = k'. \end{align*}

   Finalement,

   les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(—7 + 26k, —3+11k)$, $k\in\mathbb{Z}$.



3. Soit $k$ un entier relatif. $$0\leqslant -7 + 26k \leqslant25\Leftrightarrow 7 \leqslant26k\leqslant32\Leftrightarrow \dfrac{7}{26} \leqslant k\leqslant\dfrac{32}{26}\Leftrightarrow k = 1.$$

   Pour $k = 1$, on obtient $x = -7 + 26 = 19$ et $y = -3 + 11 = 8$.

   $(u,v) = (19,8)$.

Partie B

1. • W est associé au nombre $x = 22$.
   • $11x + 8 = 11\times22 + 8 = 250$.
   • $250 = 16 + 234 = 16 + 26\times 9$. Comme $0\leqslant16\leqslant 25$, on a donc $y = 16$ ce qui correspond à la lettre Q.

   La lettre W est codée par la lettre Q.



2. 1. Soient $x$ et $j$ deux entiers relatifs.

      Si $11x =y$ (modulo $26$), il existe un entier relatif $k$ tel que $11x = y + 26k$. Mais alors $11\times19\times x=19y + 19\times26k$.
      D'après la partie A, on a $11 \times 19 = 1 +8\times 26$ et donc $11\times 19\equiv 1$ (modulo $26$) et d'autre part, $19\times 26k\equiv 0$ (modulo $26$). L'égalité $11\times19\times x=19y + 19\times26k$ fournit donc $x\equiv 19y$ (modulo $26$).

      Réciproquement, si $x\equiv 19y$ (modulo $26$), il existe un entier relatif $k$ tel que $x = 19y+ 26k$ et donc tel que $11x = 11\times 19y + 11\times 26k$.
      On a toujours $11\times 19\equiv 1$ (modulo $26$) et $11\times 26k\equiv 0$ (modulo $26$). L'égalité $11x = 11\times 19y + 11\times 26k$ fournit donc $11x =y$ (modulo $26$).

      Pour tous entiers relatifs $x$ et $y$, $11x =y$ (modulo $26$) équivaut à $x\equiv 19y$ (modulo $26$).

   
   
   2. Soit $x$ un entier compris entre $0$ et $25$ au sens large et associé à une certaine lettre comprise entre A et Z.
      Soit $y$ l'entier compris entre $0$ et $25$ codant $x$. On a $11x + 8\equiv y$ (modulo $26$). D'après la question précédente, on peut écrire \begin{align*} 11x + 8\equiv y\;(\text{modulo}\;26)&\Leftrightarrow 11x\equiv y-8\; (\text{modulo}\;26)\Leftrightarrow x\equiv19(y-8)\;(\text{modulo}\;26)\\ &\Leftrightarrow x\equiv 19y-152\;(\text{modulo}\;26). \end{align*}

      Comme de plus $0\leqslant x\leqslant 25$,

      $x$ est le reste de la division euclidienne de $19y — 152$ par $26$.

   
   
   3. La lettre W est associée à $y = 22$. On a $19y — 152 = 266 = 26 x 10 + 6$ avec $0\leqslant 6\leqslant25$. Le reste de la division euclidienne de $19y — 152$ est donc $x = 6$ qui est associé à la lettre G.

      La lettre W code la lettre G.