Antilles Guyane 2008. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2 (5 points)

Partie A

On considère l'équation $(E)$ : $11x—26y = 1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.

  1. Vérifier que le couple $( —7,—3 )$ est solution de $(E)$.

  2. Résoudre alors l'équation $(E)$.

  3. En déduire le couple d'entiers relatifs $(u,v)$ solution de $(E)$ tel que $0\leqslant u\leqslant 25$.

Partie B

On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous

$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ $H$ $I$ $J$ $K$ $L$ $M$
$0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$

$N$ $O$ $P$ $Q$ $R$ $S$ $T$ $U$ $V$ $W$ $X$ $Y$ $Z$
$13$ $14$ $15$ $16$ $17$ $18$ $19$ $20$ $21$ $22$ $23$ $24$ $25$

On \og code \fg~tout nombre entier $x$ compris entre $0$ et $25$ de la faon suivante :
- on calcule $11x+8$ ;
- on calcule le reste de la division euclidienne de $11x + 8$ par $26$, que l'on appelle $y$.
$x$ est alors \og codé \fg~par $y$.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre $11$.
$11\times 11 + 8= 129$. Or $129\equiv 25\;(\text{modulo}\;26)$ ; $25$ est le reste de la division euclidienne de $129$ par $26$.
Au nombre $25$ correspond la lettre $Z$.
La lettre L est donc codée par la lettre Z.

  1. Coder la lettre W.

  2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
    1. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $y$, on a :
      $11x\equiv y$ (modulo $26$) équivaut à $x\equiv 19y$ (modulo $26$).

    2. En déduire un procédé de décodage.

    3. Décoder la lettre W.