Antilles Guyane 2008. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

    1. image/svg+xml 1 2 1234 − 1 − 2 − 3 − 4

    2. $z_{K'}=\dfrac{(-1+i)^2}{(1+i)-i}=\dfrac{1-2i-1}{1}=-2i$.

      $z_{K'}=-2i$.


    3. image/svg+xml12 − 1 − 21234 − 1 − 2 − 3 − 4

    1. $z_{L'}=\dfrac{-\left(\dfrac{i}{2}\right)^2}{\dfrac{i}{2}-i}=\dfrac{1/4}{-i/2}=\dfrac{1}{-2i}=\dfrac{i}{2}$.

      $z_{L'}=\dfrac{i}{2}$.

      En particulier $L'=L$ et donc le point $L$ est invariant par $f$.


    2. Soit $z\in\mbc\setminus\{i\}$. \begin{align*} z'=z&\Leftrightarrow\dfrac{-z^2}{z-i}=z\Leftrightarrow-z^2=z(z-i)\Leftrightarrow-z^2=z^2-iz\Leftrightarrow2z^2-iz=0\Leftrightarrow z(2z-i)=0\\ &\Leftrightarrow z=0\;\text{ou}\;z=\dfrac{i}{2}. \end{align*}

      Comme $0$ et $\dfrac{i}{2}$ appartiennent à $\mbc\setminus\{i\}$,

      $f$ admet exactement deux points invariants, les points $O$ et $L$ d'affixes respectives $0$ et $\dfrac{i}{2}$.


  3. Un procédé de construction.
    1. Soit $z\in\mbc\setminus\{i\}$.
      $g=\dfrac{1}{3}(z_A+z+z')=\dfrac{1}{3}\left(i+z-\dfrac{z^2}{z-i}\right)=\dfrac{(z+i)(z-i)-z^2}{3(z-i)}=\dfrac{z^2-i^2-z^2}{3(z-i)}=\dfrac{1}{3(z-i)}$.

      Pour tout complexe $z\in\mbc\setminus\{i\}$, $g=\dfrac{1}{3(z-i)}$.


    2. Soient $r$ un réel strictement positif et $M$ un point du cercle de centre $A$ et de rayon $r$. Alors $|z-i|=r$ et en particulier, $z\neq i$. De plus,
      $OG=|g|=\left|\dfrac{1}{3(z-i)}\right|=\dfrac{1}{3|z-i|}=\dfrac{1}{3r}$.
      Donc $G$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $\dfrac{1}{3r}$.

    3. Soit $z\in\mbc\setminus\{i\}$.
      $\text{arg}(g)=\text{arg}\left(\dfrac{1}{3(z-i)}\right)=-\text{arg}(3(z-i))=-\text{arg}(z-i)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)\;[2\pi]$.

      $\text{arg}(g)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)$.

    4. Ici $r=\dfrac{1}{2}$. On construit alors $G$. $G$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\dfrac{1}{3r}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$ ce qui correspond à quatre graduations. D'autre part, $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OG}\right)=\text{arg}(g)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AD}\right)$.
      Ces constatations fournissent une constuction du point $G$.

      Il reste à construire le point $D'$ tel que $G$ soit le centre de gravité du triangle $ADD'$. On sait que $G$ est \og aux deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet\fg.
      Plus précisément, si on note $B$ le milieu du segment$[AD]$, alors que $\overrightarrow{D'G}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{D'B}$ ou aussi $\overrightarrow{GD'}=2\overrightarrow{BG}$.
      Ceci fournit une construction du point $D'$.

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