Antilles Guyane 2008. Enseignement spécifique Enonce

La feuille \textbf{annexe} donnée portera les constructions demandées au cours de l'exercice.
Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, le point $A$ a pour affixe $i$.
On nomme $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z\neq i$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

$$z'=\dfrac{-z^2}{z-i}.$$

Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point $M'$ connaissant le point $M$.

1. Un exemple.

On considère un point $K$ d'affixe $1+i$.

1. Placer le point $K$.
2. Déterminer l'affixe du point $K'$ image de $K$ par $f$.
3. Placer le point $K'$.



2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.

1. On considère le point $L$ d'affixe $\dfrac{i}{2}$. Déterminer son image $L'$ par $f$. Que remarque-t-on ?
2. Un point est dit invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
   Démontrer qu'il existe deux points invariants par $f$ dont on déterminera les affixes.



3. Un procédé de construction.

On nomme $G$ le centre de gravité du triangle $AMM'$ et $g$ l'affixe de $G$.

1. Vérifier l'égalité $g=\dfrac{1}{3(z-i)}$.
2. En déduire que si $M$ est un point du cercle de centre $A$ de rayon $r$, alors $G$ est un point du cercle de centre $O$ de rayon $\dfrac{1}{3r}$.
3. Démontrer que $\text{arg}\;g =-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)\;[2\pi]$.
4. Sur la feuille annexe, on a marqué un point $D$ sur le cercle de centre $A$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
   On nomme $D'$ l'image de $D$ par $f$. Déduire des questions précédentes la construction du point $D'$ et la réaliser sur la \textbf{figure annexe à rendre avec la copie}.

Exercice 4

Sur la figure ci-dessous, le segment $[OI]$ est tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OI}$ est paratagé en six segments d'égale longueur.