Asie 2008. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2

Partie A. Représentation graphique de quelques ensembles

1. Ensemble des points M.(x,y) tels que $0\leqslant x\leqslant 8$ et $0\leqslant y\leqslant 8$ et $x\equiv 2$ (modulo $3$) et $y\equiv 1$ (modulo $3$).


2. Ensemble des points M.(x,y) tels que $0\leqslant x\leqslant 8$ et $0\leqslant y\leqslant 8$ et $x+y\equiv 1$ (modulo $3$).


3. Ensemble des points M.(x,y) tels que $0\leqslant x\leqslant 8$ et $0\leqslant y\leqslant 8$ et $x\equiv y$ (modulo $3$).

Partie B. Résolution d'une équation

On considère l'équation $(E)$ : $7x —4y = 1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

1. Puisque $7\times (—1) —4\times (—2) = —7 + 8 = 1$, on peut prendre $(x_0,y_0)=(-1,-2)$.

   $(x_0,y_0)=(-1,-2)$.

   On note que le théorème de \textsc{Bézout} permet d'affirmer que les entiers $4$ et $7$ sont premiers entre eux.



2. Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs.

   Si $7x —4y = 1$, alors $7x —4y = 7x_0— 4y_0$ puis $7(x —x_0) = 4(y —y_0)$.
   L'entier $4$ divise donc l'entier $7(x —x_0)$ et puisque l'entier $4$ est premier à l'entier $7$, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que l'entier $4$ divise l'entier $x —x_0$.
   Donc il existe un entier relatif $k$ tel que $x —x_0= 4k$ ou encore tel que $x = x_0+ 4k$.
   De même, l'entier $7$ divise $4(y —y_0)$ et donc il existe un entier relatif $k'$ tel que $y =y_0+ 7k'$.

   Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x =x_0+ 4k$ et $y =y_0+ 7k'$•

   \begin{align*} 7x-4y = 1&\Leftrightarrow 7(x_0+4k) -4(y_0+7k') = 1\Leftrightarrow7xx_0-4y_0+4\times 7\times(k-k') = 1\\ &\Leftrightarrow 4\times7\times(k-k')=0\Leftrightarrow k=k'. \end{align*}

   Les couples d'entiers relatifs solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(—1 + 4k, —2 + 7k)$, $k\in\mathbb{Z}$.



3. Soit $k$ un entier relatif. $$0\leqslant-1+4k\leqslant4\Leftrightarrow1\leqslant4k\leqslant5\Leftrightarrow0,25\leqslant k\leqslant1,25\Leftrightarrow k=1.$$

   Pour $k = 1$, on obtient $x = —1+4 = 3$ et $y = —2 + 7 = 5$. Le point $M(3,5)$ est effectivement élément du réseau $R_{4,7}$.

   $(x,y) = (3,5)$.

Partie C. Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau

1. La droite d'équation $ay = bx$ passe par les points distincts $O(0,0)$ et $A(a,b)$. Une équation de la droite $(OA)$ est donc $ay = bx$. Par suite,

   les points du segment $[OA]$ sont caractérisés par $0\leqslant x\leqslant a$, $0\leqslant y\leqslant b$ et $ay = bx$.



2. Supposons $a$ et $b$ premiers entre eux.

   Soit $M(x,y)$ un point du segment $[OA]$ appartenant au réseau $R_{a,b}$.
   On a donc $ay = bx$. Mais alors l'entier $a$ divise l'entier $bx$ et comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que l'entier $a$ divise l'entier $x$.
   Par suite, il existe un entier relatif $k$ tel que $x$ = ka. Maintenant,

   $$0\leqslant x\leqslant a\Leftrightarrow 0\leqslant ka\leqslant a\Leftrightarrow 0\leqslant k\leqslant1\Leftrightarrow k = 0\;\text{ou}\;k=1\Leftrightarrow x = 0\;\text{ou}\;x=a.$$

   Enfin, les égalités $x = 0$ et $ay = bx$ fournissent $y = 0$ et donc $M =O$ et les égalités $x = a$ et $ay = bx$ fournissent $y = b$ et donc $M = A$.

   Réciproquement, les points $O$ et $A$ appartiennent au segment $[OA]$ et au réseau $R_{a,b}$. Donc

   si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $O$ et $A$ sont les seuls points du segment $[OA]$ appartenant au réseau $R_{a,b}$.



3. Supposons $a$ et $b$ non premiers entre eux.

   En notant $d$ le pgcd de $a$ et $b$, on a $d > 1$.
   On peut alors écrire $a = da'$ et $b = db'$ où $a'$ et $b'$ sont des entiers naturels non nuls tels que $1 < a' < a$* et $1 < b' < b$.

   Considérons le point $A'(a',b')$. $A'$ n'est ni $O$, ni $A$. De plus

   $$ay_{A'}= ab' = da'b' = ba' = bx_{A'}.$$

   Enfin $0\leqslant x_{A'}\leqslant a$ et $0\leqslant y_{A'}\leqslant b$. Donc $A'$ est un point du segment $[OA]$ appartenant au réseau $R_{a,b}$ et on rappelle que $A'$ n'est ni $O$ ni $A$.

   si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, le segment $[OA]$ contient au moins un autre point du réseau $R_{a,b}$.