EXERCICE 2 (5 points)
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. On appelle \og réseau \fg~ associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points
du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x, y)$ sont des entiers vérifiant les conditions :
$0\leqslant x\leqslant a$ et $0\leqslant y\leqslant b$.
On note $R_{a,b}$ ce réseau.
Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques
des points correspondants du réseau.
Partie A. Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété.
Représenter graphiquement les points $M(x, y)$ du réseau $R_{8,8}$ vérifiant
- $x\equiv 2$ (modulo $3$) et $y\equiv 1$ (modulo $3$), sur le graphique ci-dessous :
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- $x+y\equiv 1$ (modulo $3$), sur le graphique ci-dessous :
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- $x\equiv y$ (modulo $3$), sur le graphique ci-dessous :
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Partie B. Résolution d'une équation
On considère l'équation $(E)$ : $7x —4y = 1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
- Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0,y_0)$ solution de l'équation $(E)$.
- Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation $(E)$.
- Démontrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution $(x, y)$ pour laquelle le point $M(x, y)$ correspondant
appartient au réseau $R_{4,7}$.
Partie C. Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau
Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale $[OA]$ du réseau $R_{a,b}$ avec $0(0,0)$ et $A(a,b)$.
- Démontrer que les points du segment $[OA]$ sont caractérisés par les conditions :
$0\leqslant x\leqslant a$ ;\quad$0\leqslant y\leqslant b$ ;\quad$ay = bx$.
- Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points $O$ et $A$ sont les seuls points du segment $[OA]$
appartenant au réseau $R_{a,b}$.
- Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment $[OA]$ contient au moins un autre
point du réseau.
(On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.)