Asie 2008. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

Partie A. Quelques propriétés

1. Soit $z$ un nombre complexe non nul. $$|z'|=\left|-\dfrac{1}{\overline{z}}\right|=\left|\dfrac{1}{\overline{z}}\right|=\dfrac{1}{\left|\overline{z}\right|}=\dfrac{1}{\left|z\right|}.$$ D'autre part $$\text{arg}(z')=\text{arg}\left(-\dfrac{1}{\overline{z}}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{1}{\overline{z}}\right)+\pi=-\text{arg}\left(\overline{z} \right)+\pi=\text{arg}\left(z\right)+\pi\;[2\pi].$$

   Pour tout nombre complexe non nul $z$, $|z'|=\dfrac{1}{\left|z\right|}$ et $\text{arg}(z')=\text{arg}\left(z\right)+\pi\;[2\pi]$.



2. Soit $z$ un nombre complexe non nul. On a alors $M\neq O$ et $M'\neq O$ puis $$\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}\right)=\text{arg}(z')-\text{arg}(z)=\pi\;[2\pi].$$ Ainsi, $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}\right)=\pi\;[2\pi]$ et on en déduit que

   pour tout nombre complexe non nul $z$, les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.



3. Soit $z$ un nombre complexe non nul. $$\overline{z'+1}=\overline{\left(-\dfrac{1}{\overline{z}}+1\right)}=-\dfrac{1}{\overline{\overline{z}}}+1=-\dfrac{1}{z}+1=\dfrac{z-1}{z}=\dfrac{1}{z}(z-1).$$

   Pour tout nombre complexe non nul $\overline{z'+1}=\dfrac{1}{z}(z-1)$.

Partie B. Construction de l'image d'un point

1. Soit $M$ un point du plan distinct de $O$. $$|z-1|=1\Leftrightarrow AM=1.$$ Donc,

   $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.

2. 1. Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ distinct de $O$. On a donc $z\neq 0$ et $|z— 1| = 1$. D'après les questions A-3) puis A-1), on a $$|z'+1|=\left|\overline{z'+1}\right|=\left|\dfrac{1}{z}(z-1)\right|=\dfrac{1}{|z|}\times|z-1|=\dfrac{1}{|z|}=|z'|.$$ Cette égalité s'écrit encore $\left|z'— z_B\right| =|z'|$ et donc $BM' = OM'$. Ceci signifie que $M'$ est sur la médiatrice du segment $[BO]$.

      Si $M$ est un point de $\mathscr{C}$ distinct de $O$, $M'$ est sur la médiatrice du segment $[OB]$.

   
   
   2. Réciproquement, si $|z' + 1|=|z'|$, alors $\dfrac{1}{|z|}|z-1|=\dfrac{1}{|z|}$ puis $|z-1| = 1$ car $\dfrac{1}{|z|}\neq0$.

      Si $M'$ est sur la médiatrice du segment $[OB]$, alors $M$ est un point de $\mathscr{C}$ distinct de $O$.



3. Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ distinct de $O$.
   Le point $M'$ est sur la médiatrice du segment $[BO]$ qui est la droite d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$.
   De plus les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
   On en déduit une construction du point $M'$ :