EXERCICE 3 (4 points) (commun à tous les candidats)
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On prendra pour le dessin $\left\|\overrightarrow{u}\right\|=$ 4 cm.
$M$ est un point d'affixe $z$ non nulle. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que :
$$z'=-\dfrac{1}{\overline{z}},$$
où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
Partie A. Quelques propriétés
- Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$, puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$.
- Démontrer que les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
- Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul, on a l'égalité :
$$\overline{z'+1}=\dfrac{1}{z}(z-1).$$
Partie B. Construction de l'image d'un point
On désigne par $A$ et $B$ les deux points d'affixes respectives $1$ et $—1$.
On note $\mathscr{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe vérifie :
$$|z-1|= 1.$$
- Quelle est la nature de l'ensemble $\mathscr{C}$ ?
- Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ d'affixe $z$, distinct du point $O$.
- Démontrer que $|z' + 1|=|z'|$. Interpréter géométriquement cette égalité.
- Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité $|z' + 1|=|z'|$, alors $z$ vérifie l'égalité $|z — 1| = 1$ ?
- Tracer l'ensemble $\mathscr{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathscr{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$.