France métropolitaine 2008. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

2. $z_{A'}=z_A^2-4z_A=(1+i)^2-4(1+i)=1+2i-1-4-4i=-4-2i$.
   $z_{B'}=z_B^2-4z_B=(3-i)^2-4(3-i)=9-6i-1-12+4i=-4-2i$.

   On note que $z_{A'}=z_{B'}$ ou encore que les points $A$ et $B$ ont même image.

   $z_{A'}=z_{B'}=-4-2i$.



3. Soit $z$ un nombre complexe. $z'=-5\lra z^2-4z=-5\lra z^2-4z+5=0$\quad$(E)$.

   Le discriminant de l'équation $(E)$ est

   $\Delta=(-4)^2-4\times1\times5=-4=(2i)^2$.

   L'équation $(E)$ admet deux solutions non réelles conjuguées à savoir les nombres $z_1=\dfrac{4+2i}{2}=2+i$ et $z_2=\overline{z_1}=2-i$.

   Les points qui ont pour image le point d'affixe $-5$ sont les points d'affixes $2+i$ et $2-i$.


4. 1. Soit $z$ un nombre complexe. $$z'+4=z^2-4z+4=(z-2)^2.$$
   
   
   2. Par suite, $|z'+4|=|(z-2)^2|=|z-2|^2$. D'autre part, si $z\neq2$ alors $z-2\neq0$ et $z'+4\neq0$. De plus, $$\text{arg}(z'+4)=\text{arg}\left((z-2)^2\right)=2\text{arg}(z-2)\;[2\pi].$$
   
   
   3. Soit $M$ un point du plan. $M\in\mathscr{C}\lra|z-2|=2\lra|z-2|^2=4\lra|z'+4|=4\lra M'\in\mathscr{C}'$,

      où $\mathscr{C}'$ est le cercle de centre le point $J$ d'affixe $-4$ et de rayon $4$. On note que $J=I'$.

      Quand $M$ décrit $\mathscr{C}$, $M'$ décrit le cercle $\mathscr{C}'$ de centre le point d'affixe $-4$ et de rayon $4$.



5. 1. $z_E-z_I=(2+2e^{i\pi/3})-2=2e^{i\pi/3}$ et donc $IE=|z_E-z_I|=2$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{IE}\right)=\text{arg}(z_{\overrightarrow{IE}})=\text{arg}(z_E-z_I)=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$.

      $IE=2$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{IE}\right)=\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]$.

   
   
   2. D'après la question 4)b), $JE'=|z_E'+4|=|z_E-2|^2=4$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{JE'}\right)=\text{arg}(z_{E'}-z_J)=2\text{arg}(z_E-2)=\dfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]$.

      $JE'=4$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{JE'}\right)=\dfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]$.

   
   
   3. Le point $E'$ est sur le cercle de centre $J$ et de rayon $4$. L'ordonnée de $E'$ est positive et l'abscisse de $E'$ est $-4+4\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-6$.