France métropolitaine 2008. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ (unité graphique : 1 cm).

Soient $A$, $B$ et $I$ les points d'affixes respectives $1 + i$, $3 - i$ et $2$.
A tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = z^2 - 4z$.
Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.

  1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.

  2. Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images respectives des points $A$ et $B$.
    Que remarque-t-on ?

  3. Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe $- 5$.

    1. Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a $z'+4=(z-2)^2$.

    2. En déduire une relation entre $|z'+4|$ et $|z- 2|$ et, lorsque $z$ est différent de $2$, une relation entre $\text{arg}(z'+4)$ et $\text{arg}(z-2)$.

    3. Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathscr{C}$ de centre $I$ et de rayon $2$ ?

    1. Soient $E$ le point d affixe $2 +2e^{i\frac{\pi}{3}}$, $J$ le point d'affixe $-4$ et $E'$ l'image de $E$.

    2. Calculer la distance $IE$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{IE}\right)$.

    3. Calculer la distance $JE'$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{JE'}\right)$.

    4. Construire à la régle et au compas le point $E'$ ; on laissera apparents les traits de construction.