Polynésie 2008. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

  1. Le discriminant de l'équation $z^2— 6z + 13 = 0$ est $$\Delta=(-6)^2-4\times 13 = 36-52 = -16=(4i)^2.$$

    $\Delta< 0$ et donc l'équation $z^2— 6z + 13 = 0$ admet deux solutions non réelles conjuguées à savoir $\dfrac{6-4i}{2}$ ou encore $3— 2i$ et $\overline{3— 2i}=3 + 2i$.

    Les solutions de l'équation $z^2— 6z + 13 = 0$ sont les nombres $a=3—2i$ et $b=3+ 2i$.

    On considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $a =3-2i$, $b= 3 + 2i$, $c = 4i$.


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  3. $z_{\overrightarrow{OA}}=a=3-2i$ et $z_{\overrightarrow{CB}}=c-b=(3+2i)-4i=3-2i$. Donc $z_{\overrightarrow{OA}}=z_{\overrightarrow{CB}}$ ou encore $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}$.
    On en déduit que

    le quadrilatère $OABC$ est un parallélogramme.


  4. $\Omega$ est le milieu du segment $[OB]$ et donc $$z_{\Omega}=\dfrac{z_0+z_B}{2}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{3}{2}+i.$$

    $z_{\Omega}=\dfrac{3}{2}+i$.

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    1. $\Omega$ est le milieu des segment $[OB]$ et $[AC]$ et donc $$\overrightarrow{\Omega O}+\overrightarrow{\Omega B}=\overrightarrow{\Omega A}+\overrightarrow{\Omega C}=\overrightarrow{0}.$$

      Soit $M$ un point du plan. D'après la relation de \textsc{Chasles},

      \begin{align*} \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}&=\overrightarrow{M\Omega}+\overrightarrow{\Omega O}+\overrightarrow{M\Omega}+\overrightarrow{\Omega A}+\overrightarrow{M\Omega}+\overrightarrow{\Omega B}+\overrightarrow{M\Omega}+\overrightarrow{\Omega C}\\ &=4\overrightarrow{M\Omega }+\overrightarrow{\Omega O}+\overrightarrow{\Omega B}+\overrightarrow{\Omega A}+\overrightarrow{\Omega C}\\ &=4\overrightarrow{M\Omega }. \end{align*}
    2. Soit $M$ un point du plan. D'après la question précédente, $$\left\|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=12\Leftrightarrow\left\|4\overrightarrow{M\Omega}\right\|=12\Leftrightarrow4\Omega M=12\Leftrightarrow\Omega M=3.$$

      L'ensemble des points $M$ tels que $\left\|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC}\right\|=12$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $3$.

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    1. Soit $M$ un point du plan distinct de $\Omega$.

      Puisque le triangle $\Omega MN$ est isocèle en $\Omega$, on a $\Omega M=\Omega N$ ou encore $\left|z_N-z_\Omega\right|=\left|z_M-z_\Omega\right|$.

      Puisque le triangle $\Omega MN$ est rectangle en $\Omega$ et direct, on a

      \begin{align*} \text{arg}(z_N-z_\Omega)&=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\Omega N}\right)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\Omega M}\right)+\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega N}\right)\\ &=\text{arg}(z_M-z_\Omega)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]. \end{align*}

    2. Soit $M$ un point du plan distinct de $\Omega$.
      Posons $z_M-z_\Omega=re^{i\theta}$ où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ est un réel. D'après la question précédente, \begin{align*} z_N-z_\Omega&=re^{i\theta}=re^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}=e^{i\frac{\pi}{2}}\times re^{i\theta}=\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)re^{i\theta}\\ &=i(z_M-z_\Omega). \end{align*}

    3. L'abscisse du point $M$ est $3$ et son ordonnée est $\beta$. Donc $z_M =3 +\beta i$. Ensuite, d'après la question précédente, \begin{align*} z_N&=z_\Omega+i(z_M-z_\Omega)=\dfrac{3}{2}+i+i\left(3 +\beta i-\dfrac{3}{2}-i\right)=\dfrac{3}{2}+i+3i -\beta -\dfrac{3}{2}i+1\\ &=\dfrac{5}{2}-\beta+\dfrac{5}{2}i. \end{align*}

      $z_N=\dfrac{5}{2}-\beta+\dfrac{5}{2}i$.


    4. On a vu que le vecteur $\overrightarrow{CB}$ a pour affixe $3 — 2i$. D'autre part, le vecteur $\overrightarrow{CN}$ a pour affixe $$z_{\overrightarrow{CN}}=z_N-z_C=\dfrac{5}{2}-\beta+\dfrac{5}{2}i-4i=\dfrac{5}{2}-\beta-\dfrac{3}{2}i$$

      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CB}$ sont $(3,-2)$ et les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CN}$ sont $\left(\dfrac{5}{2}-\beta,-\dfrac{3}{2}\right)$. Par suite,

      \begin{align*} N\in(BC)&\Leftrightarrow\overrightarrow{CN}\;\text{et}\;\overrightarrow{CB}\;\text{colinéaires}\\ &\Leftrightarrow\left|\begin{array}{cc} \dfrac{5}{2}-\beta&3\\ -\dfrac{3}{2}&-2 \end{array} \right|=0\Leftrightarrow-2\left(\dfrac{5}{2}-\beta\right)+3\times\dfrac{3}{2}=0\\ &\Leftrightarrow2\beta-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow\beta=\dfrac{1}{4}. \end{align*}

      Le point $N$ appartient à la droite $(BC)$ si et seulement si $\beta=\dfrac{1}{4}$. Dans ce cas, $M$ est le point de coordonnées $\left(2,\dfrac{1}{4}\right)$ et $N$ est le point de coordonnées $\left(\dfrac{9}{4},\dfrac{5}{2}\right)$.

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