Polynésie 2008. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les candidats)

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^2-6z +13 = 0$.

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 1 cm.

   On considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $a =3-2i$, $b= 3 + 2i$, $c = 4i$.



2. Faire une figure et placer les points $A$, $B$, $C$.


3. Montrer que $OABC$ est un parallélogramme.


4. Déterminer l'affixe du point $\Omega$, centre du parallélogramme $OABC$.


5. 1. Montrer que pour tout point $M$ du plan, $\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{M\Omega }$.
   
   
   2. Déterminer et tracer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left\|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\|=12$.


6. Soit $M$ un point de la droite $(AB)$ ($M$ est donc distinct de $\Omega$).
   On désigne par $\beta$ la partie imaginaire de l'affixe du point $M$.
   

   On note $N$ le point du plan tel que le triangle $\Omega MN$ soit rectangle, isocèle en $\Omega$ et direct.
   $N$ est donc le point du plan tel que $\Omega N=\Omega M$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega N}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.

   1. Montrer que $\left|z_N-z_\Omega\right|=\left|z_M-z_\Omega\right|$ et que $\text{arg}(z_N-z_\Omega)=\text{arg}(z_M-z_\Omega)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.
   
   
   2. En déduire que $z_N-z_\Omega=i(z_M-z_\Omega)$ (on commencera par poser $z_M-z_\Omega=re^{i\theta}$ ou $r>0$ et $\theta$ est réel).
   
   
   3. Montrer que $N$ a pour affixe $\dfrac{5}{2}-\beta+\dfrac{5}{2}i$.
   
   
   4. Comment choisir $\beta$ pour que $N$ appartienne à la droite $(BC)$ ?