Asie 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2

    1. D'une part, $239-5=234=13\times18$ et donc $239\equiv5\quad(13)$. D'autre part, $239-1=238=17\times14$ et donc $239\equiv1\quad(17)$.

      L'entier $239$ est solution du système.


    2. Soit $N$ un entier relatif. Si $N$ est solution du système, il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $N=1+17x$ et $N=5+13y$. Les entiers $x$ et $y$ doivent vérifier $1+17x=5+13y$ et donc $17x-13y=4$.

    3. Le couple $(x_0,y_0)=(1,1)$ est une solution de l'équation $17x-13y=4$. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs.
      $17x-13y=4\Rightarrow17x-13y=17x_0-13y_0\Rightarrow17(x-x_0)=13(y-y_0)$.

      Ainsi, si le couple $(x,y)$ est solution, nécessairement l'entier $13$ divise l'entier $17(x-x_0)$. Comme les entiers $13$ et $17$ sont premiers entre eux (puisque $13$ et $17$ sont deux nombres premiers distincts), le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que $13$ divise $x-x_0$ et donc il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=13k$ ou encore tel que $x=x_0+13k$.
      De même, $17$ divise $13(y-y_0)$ et donc il existe un entier relatif $k'$ tel que $y-y_0=17k'$ ou encore tel que $y=y_0+17k'$.

      Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=x_0+13k$ et $y=y_0+17k'$.

      $17x-13y=17(x_0+13k)-13(y_0+17k')=17x_0-13y_0+13\times17(k-k')=4+13\times17(k-k')$,

      et donc le couple $(x,y)$ est solution si et seulement si $k=k'$.

      Les couples solutions sont les couples de la forme $(1+13k,1+17k)$ où $k\in\mbz$.


    4. D'après b) et c), il existe un entier relatif $k$ tel que $N=1+17(1+13k)=18+221k$.

    5. Les questions b), c) et d) montrent que si $N$ est solution du système alors $N\equiv18\quad(221)$.

      Réciproquement, si $N\equiv18\quad(221)$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que $N=18+221k$. Par suite

      • $N-5=13+221k=13(1+17k)$ et donc $N\equiv5\quad(13)$
      • $N-1=17+221k=17(1+13k)$ et donc $N\equiv1\quad(17)$
      et $N$ est solution du système.

      $\left\{ \begin{array}{l} N\equiv5\quad(13)\\ N\equiv1\quad(17) \end{array} \right.\Leftrightarrow N\equiv18\quad(221)$.


    6. Soit $k$ un entier naturel non nul. D'après la question 1)e), $10^k\equiv18\quad(221)$ équivaut à $10^k\equiv5\quad(13)$ et $10^k\equiv1\quad(17)$. Décrivons les puissances de $10$ modulo $13$.

      $10^1=10$ est congru à $10$ modulo $13$ ou aussi à $-3$.
      Puisque $10$ est congru à $-3$, $10^2$ est congru à $-3\times10=-30$ ou encore à $9$ ou à $-4$.
      $10^3=10^2\times10$ est congru à $-4\times10=-40$ ou encore à $-1$.
      $10^4=10^3\times10$ est congru à $-10$ ou encore à $3$.
      $10^5=10^4\times10$ est congru à $3\times10=30$ ou encore à $4$.
      $10^6=10^5\times10$ est congru à $40$ ou encore à $1$.

      A partir d'ici, le cycle recommence. $10^7$, $10^8$, $10^9$ \ldots sont congrus à $-3$ puis $-4$ puis $-1$ puis $3$ puis $4$ puis $1$\ldots

      Mais alors pour tout entier naturel non nul $k$, $10^k\not\equiv5\quad(13)$. D'après la remarque du début de la question, on en déduit que

      pour tout entier naturel non nul $k$, $10^{k}\not\equiv18\quad(221)$.