Asie 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2 (5 points)

1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que : $\left\{ \begin{array}{l} N\equiv5\quad(13)\\ N\equiv1\quad(17) \end{array} \right.$.
   1. Vérifier que $239$ est solution du système.
   
   
   2. Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
      Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N=1+17x=5+13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant $17x -13y=4$.
   
   
   3. Résoudre l'équation $17x-13y=4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
   
   
   4. En déduire qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $N=18+221k$.
   
   
   5. Démontrer l'équivalence entre $N\equiv18\quad(221)$ et $\left\{ \begin{array}{l} N\equiv5\quad(13)\\ N\equiv1\quad(17) \end{array} \right.$.


2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Existe-t-il un entier naturel non nul $k$ tel que $10^k\equiv18\quad(221)$ ?