Asie 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

  1. Les points $C$ et $D$ sont les points de coordonnées respectives $(1,-1)$ et $(0,-1)$ et donc $c=1-i$ et $d=-i$.

    1. Soit $F'$ le point d'affixe $ib$. $OF'=|ib|=|i|\times|b|=1\times b=b=OB$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OF'}\right)=\text{arg}(ib)=\text{arg}(i)+\text{arg}(b)=\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}\right)\;[2\pi]$.

      Mais le point $F$ est le point du plan tel que $OF=OB$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}\right)\;[2\pi]$.
      Donc $F'=F$ ou encore $F$ est le point d'affixe $ib$.


    2. Puisque le quadrilatère $OBEF$ est un carré, $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}$ et donc $$e=b+f=b+ib=(1+i)b.$$

      $e=(1+i)b$.


  3. De même, $\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OD}$ et donc $g=f+d=ib-i=i(b-1)$.

    $g=i(b-1)$.


  4. $GE=|e-g|=|(1+i)b-i(b-1)|=|b+i|=\sqrt{b^2+1}$.
    $GC=|c-g|=|(1-i)-i(b-1)|=|1-ib|=\sqrt{1^2+(-b)^2}=\sqrt{b^2+1}$.
    $CE=|e-c|=|(1+i)b-(1-i)|=|(b-1)+i(b+1)|=\sqrt{(b-1)^2+(b+1)^2}=\sqrt{2b^2+2}=\sqrt{2}\times\sqrt{b^2+1}$.

    $GE=GC$ et donc le triangle $EGC$ est isocèle en $G$.

    $GE^2+GC^2=b^2+1+b^2+1=2(b^2+1)=CE^2$. D'après le réciproque du théorème de \textsc{Pythagore}, le triangle $EGC$ est rectangle en $G$.

    Finalement

    Le triangle $EGC$ est rectangle et isocèle en $C$.