Centres étrangers 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

  1. Faux


  2. Vrai


  3. Vrai


  4. Vrai

Justifications.

  1. $\text{Re}(i^2)=\text{Re}(-1)=-1$ et $(\text{Re}(i))^2=0^2=0$. Donc $\text{Re}(i^2)\neq(\text{Re}(i))^2$ et la proposition 1 est fausse.

  2. $OM=|z|$, $ON=|\overline{z}|$ et $OP=\left|\dfrac{z^2}{\overline{z}}\right|$. On sait que $|\overline{z}|=|z|$ et donc $OM=ON$.
    D'autre part, $$OP=\dfrac{|z|^2}{|\overline{z}|}=\dfrac{|z|^2}{|z|}=|z|=OM.$$

    Finalement $OM=ON=OP$ ou encore les points $M$, $N$ et $P$ appartiennent à un même cercle de centre $O$.
    La proposition 2 est vraie.


  3. 1ère solution. Soient $M$, $A$ et $B$ les points affixes respectives $z$, $i$ et $-i$. \begin{align*} |1+iz|=|1-iz|&\Leftrightarrow|i(-i+z)|=|-i(i+z)|\Leftrightarrow|i|\times|z-i|=|-i|\times|z+i|\Leftrightarrow|z-i|=|z+i|\\ &\Leftrightarrow MA=MB\\ &\Leftrightarrow M\in\text{med}[AB]\Leftrightarrow M\in(Ox)\Leftrightarrow\text{Im}(z)=0. \end{align*}

    4. 2ème solution. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.

    \begin{align*} |1+iz|=|1-iz|&\Leftrightarrow|1+i(x+iy)|=|1-i(x+iy)|\Leftrightarrow|(1-y)+ix|=|(1+y)-ix|\\ &\Leftrightarrow\sqrt{(1-y)^2+x^2}=\sqrt{(1+y)^2+(-x)^2}\Leftrightarrow(1-y)^2+x^2=(1+y)^2+x^2\\ &\Leftrightarrow1-2y+y^2=1+2y+y^2\Leftrightarrow4y=0\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow\text{Im}(z)=0. \end{align*}

    La proposition 3 est vraie.


  4. 1ère solution. Posons $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $y$, $x'$ et $y'$ sont quatre réels. \begin{align*} |z+z'|=|z-z'|&\Leftrightarrow|(x+x')+i(y+y')|=|(x-x')+i(y-y')|\\ &\Leftrightarrow\sqrt{(x+x')^2+(y+y')^2}=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}\\ &\Leftrightarrow x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2=x^2-2xx'+x'^2+y^2-2yy'+y'^2\\ &\Leftrightarrow4(xx'+yy')=0\Leftrightarrow xx'+yy'=0\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM'}=0\\ &\Leftrightarrow(OM)\bot(OM'). \end{align*}

    2ème solution. Soit $N$ le point tel que $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$. Le quadrilatère $OMNM'$ est un parallélogramme.

    $|z+z'|=\left\|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}\right\|=\left\|\overrightarrow{ON}\right\|=ON$ et $|z-z'|=\left\|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM'}\right\|=\left\|\overrightarrow{M'M}\right\|=M'M$.

    Donc si $|z+z'|=|z-z'|$ alors $ON=MM'$ et les diagonales du parallélogramme $OMNM'$ ont même longueur.
    On sait alors que ce parallélogramme est un rectangle et donc que $(OM)\bot(OM')$.

    3ème solution.

    \begin{align*} |z+z'|=|z-z'|&\Leftrightarrow\left\|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}\right\|=\left\|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM'}\right\|\Leftrightarrow\left\|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OM'}\right\|^2\\ &\Leftrightarrow\left\|\overrightarrow{OM}\right\|^2+2\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM'}+\left\|\overrightarrow{OM'}\right\|^2=\left\|\overrightarrow{OM}\right\|^2-2\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM'}+\left\|\overrightarrow{OM'}\right\|^2\\ &\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM'}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OM'}=0\\ &\Leftrightarrow(OM)\bot(OM'). \end{align*}

    La réponse 4 est vraie.