France métropolitaine 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4

1. 1. Le couple $(x_0,y_0)=(1,1)$ est solution de l'équation $8x-5y=3$.

      Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs.

      • Si $8x-5y=3$, alors $8x-5y=8x_0-5y_0$ puis $8(x-x_0)=5(y-y_0)$.
        L'entier $5$ divise l'entier $5(y-y_0)$ et donc l'entier $5$ divise l'entier $8(x-x_0)$. Comme les entiers $5$ et $8=2^3$ sont premiers entre eux, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que l'entier $5$ divise l'entier $x-x_0$. Par suite, il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=5k$ ou encore $x=x_0+5k$.
        De même, l'entier $8$ divise l'entier $y-y_0$ et donc il existe un entier relatif $k'$ tel que $y-y_0=8k'$ ou encore $y=y_0+8k'$.

      Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=x_0+5k$ et $y=y_0+8k'$.

      $8x-5y=3\Leftrightarrow 8(x_0+5k)-5(y_0+8k')=8x_0-5y_0\Leftrightarrow 8\times5(k-k')=0\Leftrightarrow k=k'$,

      Les couples $(x,y)$ d'entiers relatifs solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1+5k,1+8k)$, $k\in\mathbb{Z}$.

   
   
   2. Soient $m$, $p$ et $q$ trois entiers relatifs tels que $m=8p+1$ et $m=5q+4$.
      On a donc $8p+1=5q+4$ puis $8p-5q=3$. Ainsi, le couple $(p,q)$ est solution de l'équation $8x-5y=3$.
      En particulier, il existe un entier relatif $k$ tel que $p=1+5k$. Mais alors $m=8p+1=8(1+5k)+1=9+40k$,

      et donc $m\equiv9\;(\text{modulo}\;40)$.

   
   
   3. Soit $m$ un entier relatif congru à $9$ modulo $40$. Il existe un entier $k$ tel que $m=9+40k$. \begin{align*} m\geqslant 2000&\Leftrightarrow 9+40k\geqslant2000\Leftrightarrow k\geqslant\dfrac{2000-9}{40}\Leftrightarrow k\geqslant 49,775\Leftrightarrow k\geqslant50\;(\text{car}\;k\;\text{est un entier}). \end{align*}

      Pour $k=50$, on obtient $m=2009$.

      Le plus petit entier $m$ supérieur ou égal à $2000$ et congru à $9$ modulo $40$ est $m_0=2009$.



2. 1. Soit $k$ un entier naturel. $2^3=8$ et donc $2^3\equiv1\;(\text{modulo}\;7)$. Par suite, puisque $2^{3k}=(2^3)^k$, on a $2^{3k}\equiv1^k\;(\text{modulo}\;7)$ ou encore $2^{3k}\equiv1\;(\text{modulo}\;7)$.

      Pour tout entier naturel $k$, $2^{3k}\equiv1\;(\text{modulo}\;7)$.

   
   
   2. Puisque la somme des chiffres de $2009$ est $11$, on a $2009\equiv11\;(\text{modulo}\;3)$ ou encore $2009\equiv2\;(\text{modulo}\;3)$ (on peut aussi écrire directement $2009=669\times3+2$).
      

      Ainsi, il existe un entier naturel $k$ tel que $2009=3k+2$. On a alors $2^{2009}=2^{3k}\times2^2$. D'après la question précédente, on a $2^{2009}\equiv1\times2^2\;(\text{modulo}\;7)$ et donc $2^{2009}\equiv4\;(\text{modulo}\;7)$. Comme $0\leqslant 4< 7$, on a montré que

      le reste de la division euclidienne de $2^{2009}$ par $7$ est $4$.



3. 1. $10\equiv3\;(\text{modulo}\;7)$ et donc $10^3\equiv3^3\;(\text{modulo}\;7)$ ou encore $10^3\equiv27\;(\text{modulo}\;7)$ ou encore $10^3\equiv27-4\times7\;(\text{modulo}\;7)$ ou enfin $10^3\equiv-1\;(\text{modulo}\;7)$ (on peut aussi écrire $10^3=1000=143\times7-1$).
   
   
   2. D'après a), $N\equiv(-1)a+b\;(\text{modulo}\;7)$. Donc \begin{align*} N\;\text{divisible par}\;7&\Leftrightarrow N\equiv0\;(\text{modulo}\;7)\Leftrightarrow b-a\equiv0\;(\text{modulo}\;7)\\ &\Leftrightarrow (a,b)\in\{(1,1),(1,8),(2,2),(2,9),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,0),(7,7),(8,1),(8,8),(9,2),(9,9). \end{align*}

      Les entiers solutions sont $1001$, $1008$, $2002$, $2009$, $3003$, $4004$, $5005$, $6006$, $7000$, $7007$, $8001$, $8008$, $9002$ et $9009$.