France métropolitaine 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4 (5 points)

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1. 1. Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)$ de nombres entiers relatifs, solution de l'équation $$(E)\;:\;8x-5y = 3.$$
   
   
   2. Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p, q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8p +1$ et $m = 5q + 4$.

      Montrer que le couple $(p, q)$ est solution de l'équation $(E)$ et en déduire que $m\equiv 9\;(\text{modulo}\;40)$.

   
   
   3. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à $2000$.


2. Soit $n$ un nombre entier naturel.
   1. Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k}\equiv1\;(\text{modulo}\;7)$.
   
   
   2. Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{2009}$ par $7$ ?


3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à $9$ avec $a\neq0$.

   On considère le nombre $N=a\times10^3+b$.
   On rappelle qu'en base $10$ ce nombre s'écrit sous la forme $N =\overline{a00b}$.

   On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par $7$.

   1. Vérifier que $10^3\equiv-1\;(\text{modulo}\;7)$.
   
   
   2. En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés.