France métropolitaine 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. 1. Soit $M$ un point distinct de $O$ dont l'affixe est notée $z$. $OM\times OM_1=|z|\times\left|\dfrac{1}{z}\right|=|z|\times\dfrac{1}{|z|}=1$,

      et

      $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_1}\right)=\text{arg}\left(z_{M_1}\right)=\text{arg}\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\text{arg}(z)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)\quad[2\pi]$.

      Pour tout point $M\neq O$, $OM\times OM_1=1$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_1}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)\quad[2\pi]$.

   
   
   2. Le point $A_1$ est défini par $OA_1=\dfrac{1}{OA}=\dfrac{1}{2}$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA_1}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA}\right)\quad[2\pi]$. Ces égalités permettent de construire le point $A_1$ et enfin le point $A'$ est le milieu du segment $[AA_1]$.


2. 1. Soit $M$ un point distinct de $O$. $z'=z_{M'}=\dfrac{1}{2}(z_M+z_{M_1})=\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)$.
   
   
   2. $z_{B'}=\dfrac{1}{2}\left(z_B+\dfrac{1}{z_B}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2i+\dfrac{1}{2i}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2i-\dfrac{i}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3i}{2}=\dfrac{3i}{4}$,

      et

      $z_{C'}=\dfrac{1}{2}\left(z_C+\dfrac{1}{z_C}\right)=\dfrac{1}{2}\left(-2i+\dfrac{1}{-2i}\right)=\dfrac{1}{2}\left(-2i+\dfrac{i}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-3i}{2}=-\dfrac{3i}{4}$.

      $z_{B'}=\dfrac{3i}{4}$ et $z_{C'}=-\dfrac{3i}{4}$.



3. Soit $M$ un point distinct de $O$. $M'=M\lra z'=z\lra\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)=z\lra z+\dfrac{1}{z}=2z\lra\dfrac{1}{z}=z\lra z^2=1\lra z=1\;\text{ou}\;z=-1$.

   Les points $M$ tels que $M'=M$ sont les points de coordonnées $(1,0)$ et $(-1,0)$.



4. Soit $M$ un point distinct de $O$ dont l'affixe est notée $z$.

   1ère solution.Si $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, on a $|z|=1$ et donc il existe un réel $\theta$ tel que $z=e^{i\theta}$. Mais alors

   \begin{align*} z'&=\dfrac{1}{2}\left(e^{i\theta}+\dfrac{1}{e^{i\theta}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+i\sin\theta+\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\\ &=\dfrac{1}{2}(\cos\theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta)=\cos\theta. \end{align*}

   Ainsi, $z'$ est un réel élément de l'intervalle $[-1,1]$ et donc $M'$ est élément du segment $[KL]$.

   2ème solution.Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels tels que $x^2+y^2=1$ (car $OM^2=1$).

   $z'=\dfrac{1}{2}\left(x+iy+\dfrac{1}{x+iy}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+iy+\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}\right)=\dfrac{1}{2}(x+iy+x-iy)=x$.

   Or $|x|=\sqrt{x^2}\leqslant \sqrt{x^2+y^2}=1$ et on retrouve le fait que $z'$ est un réel élément de l'intervalle $[-1,1]$.