France métropolitaine 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Dans le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $[MM_1]$, où $M_1$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$.

Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$.

1. 1. Montrer que les distances $OM$ et $OM_1$ vérifient la relation $OM\times OM_1= 1$ et que les angles $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)$ et \hspace{0,9cm}$\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_1}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_1}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)$ à $2\pi$ près.
   
   
   2. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point $A$ appartient au cercle de centre $O$ de rayon 2.
      Construire le point $A'$ image du point $A$. (On laissera apparents les traits de construction).


2. 1. Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z'=\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)$.
   
   
   2. Soient $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2i$ et $-2i$.
      Calculer les affixes des points $B'$ et $C'$ images respectives des points $B$ et $C$.
   
   
   3. Placer les points $B$, $C$, $B'$ et $C'$ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).


3. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$.


4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ alors son image $M'$ appartient au segment $[KL]$ où $K$ et $L$ sont les points d'affixes respectives $-1$ et $1$.