Liban 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

Partie A

  1. $z_A=\left|-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{4}}=\sqrt{3}$ puis $$z_A=\sqrt{3}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3}e^{5i\pi/6}.$$

    On sait d'autre part que $\overline{z_A}$ a le même module que $z_A$ et un argument opposé à celui de $z_A$ modulo $2\pi$.
    Donc $z_B=\overline{z_A}=\sqrt{3}e^{-5i\pi/6}$.

    $z_A=\sqrt{3}e^{\frac{5i\pi}{6}}$ et $z_B=\sqrt{3}e^{-\frac{5i\pi}{6}}$.


  2. image/svg+xml12 − 1123 − 1 − 2 − 3 O

    • $AB=|z_B-z_A|=\left|\left(-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|=\left|-i\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}|-i|=\sqrt{3}$.

    • $AC=|z_c-z_A|=\left|-3-\left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|=\left|\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{12}{4}}=\sqrt{3}$.

    • $CB=|z_B-z_C|=\left|\overline{z_A}-\overline{z_C}\right|=\left|\overline{z_A-z_C}\right|=\left|z_A-z_C\right|=AC=\sqrt{3}$.

      • Donc $AB=AC=BC$ et le triangle $ABC$ est équilatéral.

      le triangle $ABC$ est équilatéral.


Partie B

      • $z_{A'}=\dfrac{1}{3}i\left(\sqrt{3}e^{5i\pi/6}\right)^2=\dfrac{1}{3}i\times 3e^{2\times\frac{5i\pi}{6}}=ie^{\frac{5i\pi}{3}}=e^{\frac{i\pi}{2}}\times e^{\frac{5i\pi}{3}}=e^{i\pi/2}\times e^{-\frac{i\pi}{3}}=e^{i(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}=e^{\frac{i\pi}{6}}$.

      • $z_{B'}=\dfrac{1}{3}i\left(\sqrt{3}e^{-\frac{5i\pi}{6}}\right)^2=e^{\frac{i\pi}{2}}e^{-\frac{5i\pi}{3}}=e^{-\frac{7i\pi}{6}}=e^{\frac{5i\pi}{6}}$.

      • $z_{C'}=\dfrac{1}{3}i(-3)^2=3i=3e^{\frac{i\pi}{2}}$.

        • $z_{A'}=e^{i\pi/6}$, $z_{B'}=e^{5i\pi/6}$ et $z_{C'}=3e^{i\pi/2}$.


    2. image/svg+xml123 − 1123 − 1 − 2 − 3 O 1/2

    3. $z_A-z_0=\sqrt{3}e^{\frac{5i\pi}{6}}$ et $z_{B'}-z_O=e^{\frac{5i\pi}{6}}$. Donc $z_A-z_0=\sqrt{3}\left(z_{B'}-z_O\right)$.
      On en déduit que $\overrightarrow{OA}=\sqrt{3}\overrightarrow{OB'}$ et en particulier que les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB'}$ sont colinéaires.
      Mais alors les points $O$, $A$ et $B'$ sont alignés.

      De même, $z_B-z_0=\sqrt{3}e^{-\frac{5i\pi}{6}}$ et $z_{A'}-z_O=e^{\frac{i\pi}{6}}=e^{-\frac{5i\pi}{6}+i\pi}=-e^{-\frac{5i\pi}{6}}$. Donc $z_B-z_0=-\sqrt{3}\left(z_{A'}-z_O\right)$.

      On en déduit que $\overrightarrow{OB}=-\sqrt{3}\overrightarrow{OA'}$ et en particulier les points $O$, $B$ et $A'$ sont alignés.

      image/svg+xml123 − 1123 − 1 − 2 − 3 O

    1. Le milieu du segment $[OC]$ a pour affixe $\dfrac{z_O+z_C}{2}=-\dfrac{3}{2}$ et le milieu du segment $[AB]$ a pour affixe $$\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}.$$

      Par suite, les segments $[AB]$ et $[OC]$ ont même milieu et donc le quadrilatère $OACB$ est un parallélogramme.

      D'après la question 3) de la partie A, on a $CA=CB$. Le parallélogramme $OACB$ possède donc deux côtés consécutifs de même longueur. On en déduit que le parallélogramme $OACB$ est un losange.

      Le quadrilatère $OACB$ est un losange.


    2. $OA'=\left|z_{A'}\right|=\left|e^{\frac{i\pi}{6}}\right|=1$ puis \begin{align*} A'C'&=\left|z_{C'}-z_{A'}\right|=\left|3i-e^{\frac{i\pi}{6}}\right|=\left|3i-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\right|=\left|-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{5}{2}i\right|\\ &=\dfrac{1}{2}\left|-\sqrt{3}+5i\right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+5^2}=\dfrac{\sqrt{28}}{2}\\ &=\sqrt{7}. \end{align*}

      En particulier, $OA'\neq A'C'$ et donc le quadrilatère $OA'C'B'$ n'est pas un losange.


    3. $G$ est le milieu du segment $[OC]$ et donc $z_G=\dfrac{z_0+z_C}{2}=-\dfrac{3}{2}$. $G$ est le point de coordonnées $\left(-\dfrac{3}{2},0\right)$.

      Ensuite,

      $$z_{G'}=\dfrac{1}{3}i\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}i.$$

      $G'$ est le point de coordonnées $\left(0,\dfrac{3}{4}\right)$.

      image/svg+xml123 − 1123 − 1 − 2 − 3 O GG ′

  3. Soit $z$ un nombre complexe. On pose $z=a+ib$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
    $z'=\dfrac{1}{3}i(a+ib)^2=\dfrac{1}{3}i(a^2+2iab-b^2)=\dfrac{1}{3}(-2ab+i(a^2-b^2))$.

    La droite $(AB)$ est la droite d'équation $x=-\dfrac{3}{2}$. Soit $M\left(-\dfrac{3}{2},t\right)$, $t\in\mathbb{R}$, un point de la droite $(AB)$.
    Notons $x$ et $y$ les coordonnées de $M'$. D'après le calcul précédent

    $x=\dfrac{1}{3}\left(-2\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)\times t\right)=t$ et $y=\dfrac{1}{3}\left(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-t^2\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}t^2$,

    et donc $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{3}{4}$.

    Si $M$ appartient à la droite $(AB)$ alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{3}{4}$.

    image/svg+xml123 − 1123 − 1 − 2 − 3 O GG ′