Liban 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ (unité graphique : 2 cm).

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A=-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $z_B=\overline{z_A}$ et $z_C= -3$.

1. Écrire les nombres complexes $z_A$ et $z_B$ sous forme exponentielle.


2. Placer les points $A$, $B$ et $C$.


3. Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.

Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe

On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associés par $f$ aux points $O$, $A$, $B$ et $C$.

1. 1. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points $A'$, $B'$ et $C'$.
   
   
   2. Placer les points $A '$, $B '$ et $C '$.
   
   
   3. Démontrer l'alignement des points $O$, $A$ et $B'$ ainsi que celui des points $O'$, $B$ et $A'$.


2. 1. Montrer que le quadrilatère $OACB$ est un losange.
   
   
   2. Le quadrilatère $O'A'C'B'$ est-il un losange ?

   Soit $G$ le centre de gravité du losange $OACB$. On note $G'$ le point associé à $G$ par $f$.

   3. Déterminer les affixes des points $G$ et $G'$ puis placer $G$ et $G'$.


3. Démontrer que si $M$ appartient à la droite $(AB)$ alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{3}{4}.$$

   (On ne demande pas de tracer cette parabole)