Nouvelle Calédonie 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 2

1. 1. $3\times(-2)+7\times1=1$ et donc le couple $(-2,1)$ est un couple d'entiers relatifs tel que $3u+7v=1$.

      En multipliant les deux membres de l'égalité précédente par $10^{2n}$, on obtient $3\times(-2\times10^{2n})+7\times10^{2n}=10^{2n}$ et donc

      le couple $(x_0,y_0)=\left(-2\times10^{2n},10^{2n}\right)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

   
   
   2. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. $3x+7y=10^{2n}\Rightarrow3x+7y=3x_0+7y_0\Rightarrow3(x-x_0)=7(y_0-y)$.

      Ainsi, si le couple $(x,y)$ est solution de l'équation $(E)$, nécessairement l'entier $7$ divise l'entier $3(x-x_0)$.
      Puisque les entiers $3$ et $7$ sont premiers entre eux ($3$ et $7$ étant deux nombres premiers distincts), le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que l'entier $7$ divise l'entier $x-x_0$ et donc il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=7k$ ou encore tel que $x=x_0+7k$. De même, l'entier $3$ divise l'entier $y_0-y$ et il existe un entier $k'$ tel que $y_0-y=3k'$ ou encore tel que $y=y_0-3k'$.

      Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=x_0+7k$ et $y=y_0-3k'$.

      $3x+7y=3(x_0+7k)+7(y_0-3k')=3x_0+7y_0+3\times7\times(k-k')=10^{2n}+3\times7\times(k-k')$,

      et donc, le couple $(x,y)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si $k=k'$.

      Les couples d'entiers relatifs solutions de $(E)$ sont les couples de la forme\\ $\left(-2\times10^{2n}+7k,10^{2n}-3k\right)$, $k\in\mathbb{Z}$.



2. 1. $100-2=98=7\times14$. Donc $100-2$ est divisible par $7$ ou encore $100\equiv 2\;(\text{modulo}\;7)$.

      Soient alors $x$ et $y$ deux entiers relatifs tels que $3x^2+7y^2=10^{2n}$.
      D'une part, $3x^2+7y^2\equiv3x^2\;(\text{modulo}\;7)$.
      D'autre part, puisque $10^{2n}=(10^2)^n=(100)^n$, on en déduit que $10^{2n}\equiv2^n\;(\text{modulo}\;7)$.

      Finalement, si le couple $(x,y)$ est solution de l'équation $(G)$, alors $3x^2\equiv2^n\;(\text{modulo}\;7)$.

   
   

   2. la division euclidienne de $x$ par $7$.	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
      Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.	$0$	$3$	$5$	$6$	$6$	$5$	$3$

   
   
   3. Tout d'abord, $2^1=2$ est congru à $2$ modulo $7$, $2^2=4$ est congru à $4$ modulo $7$ et $2^3=8$ est congru à $1$ modulo $7$.
      Maintenant, l'entier $n$ est soit un multiple de $3$, soit $1$ de plus qu'un multiple de $3$, soit $2$ de plus qu'un multiple de $3$.
      
      
      • Si $n$ est un multiple de $3$, il existe un entier naturel non nul $p$ tel que $n=3p$.
        Dans ce cas, $2^n=2^{3p}=(2^3)^p$ et d'après la remarque initiale, $2^n\equiv1^p\;(\text{modulo}\;7)$ ou encore $2^n\equiv1\;(\text{modulo}\;7)$.
      
      
      • Si $n$ est $1$ de plus qu'un multiple de $3$, il existe un entier naturel $p$ tel que $n=3p+1$.
        Dans ce cas, $2^n=2^{3p+1}=2^{3p}\times2$ puis $2^n\equiv1\times2\;(\text{modulo}\;7)$ ou encore $2^n\equiv2\;(\text{modulo}\;7)$.
      
      
      • Si $n$ est $2$ de plus qu'un multiple de $3$, il existe un entier naturel $p$ tel que $n=3p+2$.
        Dans ce cas, $2^n=2^{3p+2}=2^{3p}\times4$ puis $2^n\equiv1\times4\;(\text{modulo}\;7)$ ou encore $2^n\equiv4\;(\text{modulo}\;7)$.

      $2^n$ est donc congru à $1$, $2$ ou $4$ modulo $7$. D'autre part, modulo $7$, l'entier $x$ est congru à $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$ et, d'après la question précédente, l'entier $3x^2$ est congru à $0$, $3$, $5$ ou $6$ modulo $7$.
      Ainsi, les entiers $3x^2$ et $2^n$ se sont jamais congrus modulo $7$. L'équation $3x^2\equiv 2^n\;(\text{modulo}\;7)$ n'a donc pas de solution.
      D'après la question a), on en déduit que l'équation $3x^2+7y^2=10^{2n}$ n'a pas de solution.

      L'équation $(G)$ n'admet pas de solution.