EXERCICE 2 (5 points)
Les questions 1) et 2) sont indépendantes.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
- On considère l'équation notée $(E)$ :
$3x+7y=10^{2n}$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
- Déterminer un couple $(u,v)$ d'entiers relatifs tels que $3u+ 7v =1$.
En déduire une solution particulière $(x_0,y_0)$ de l'équation $(E)$.
- éterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,y)$ solutions de $(E)$.
- On considère l'équation notée $(G)$ :
$3x^2+7y^2=10^{2n}$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
- Montrer que $100\equiv2\;(\text{modulo}\;7)$.
Démontrer que si $(x,y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2\equiv2^n\;(\text{modulo}\;7)$.
- Reproduire et compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne
de $x$ par $7$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
$5$ |
$6$ |
Reste de la division euclidienne
de $3x^2$ par $7$. |
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- Démontrer que $2^n$ est congru à $1$, $2$ ou $4$ modulo $7$.
En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution.