Nouvelle Calédonie 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique : 2 cm.

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1 +i\sqrt{3}$ , $z_B= 2i$.

1. 1. Ecrire $z_A$ et $z_B$ sous forme exponentielle.
   
   
   2. Placer les points $A$ et $B$ sur une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
   
   
   3. Déterminer la nature du triangle OAB.


2. 1. Calculer $\dfrac{z_B}{z_A}$. En déduire une égalité reliant un argument de $z_A$ et un argument de $z_B$.
   
   
   2. Exprimer l'angle $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$ en fonction d'un argument de $z_A$ et d'un argument de $z_B$.
   
   
   3. Déterminer l'angle $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$.


3. Soient $\Gamma$ le cercle de centre $A$ passant par $O$ et $\Gamma'$ le cercle de centre $B$ passant par $O$.
   Soit $C$ le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma'$ (autre que $O$). On note $z_C$ son affïxe.
   1. Tracer les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ et placer le point $C$.
   
   
   2. Calculer l'affïxe $z_I$ du milieu $I$ de $[AB]$.
   
   
   3. Déterminer la nature du quadrilatère $OACB$.
   
   
   4. En déduire que $I$ est le milieu de $[OC]$ puis montrer que l'affïxe de $C$ est : $$z_C=1+\left(2 +\sqrt{3}\right)i.$$


4. Soit $D$ le point d'affixe $z_D =2i\sqrt{3}$.
   1. Justifier que le point $D$ appartient au cercle $\Gamma$. Placer $D$ sur la figure.
   
   
   2. Soit $D'$ le point d'affixe $z_{D'}=e^{\frac{i\pi}{6}}z_D$. Montrer que $z_{D'}=—\sqrt{3}+3i$.
   
   
   3. Montrer que $D'$ appartient à $\Gamma'$.


5. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DD '}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?