Réunion 2009. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

  1. c)
  2. a)
  3. c)
  4. a)

Explications.

  1. Soit $M$ un point du plan dont l'affixe est notée $z$. Soit $\Omega$ le point d'affixe $1-2i$. \begin{align*} M\in(E)&\Leftrightarrow\text{il existe}\;\theta\in\mathbb{R}\;\text{tel que}\;z=1-2i+e^{i\theta}\\ &\Leftrightarrow \text{il existe}\;\theta\in\mathbb{R}\;\text{tel que}\;z-z_\Omega=e^{i\theta}\\ &\Leftrightarrow \left|z-z_\Omega\right|=1\Leftrightarrow \Omega M=1\\ &\Leftrightarrow M\;\text{appartient au cercle de centre}\;\Omega\;\text{et de rayon}\;1. \end{align*}

    La bonne réponse est donc la réponse c).


  2. Si $z=-1-2i$, alors $z'=-i(-1-2i)-2i=i-2-2i=-2-i\neq i$. La proposition b) est donc fausse.

    Ensuite, si $z=0$, alors $z'=-2i$. Les points $O$, $O'$ et $\Omega$ ont pour coordonnées respectives $(0,0)$, $(0,-2)$ et $(-1,-1)$.
    La droite $(OO')$ est l'axe des ordonnées et le point $\Omega$ n'appartient pas à l'axe des ordonnées.
    Donc les points $\Omega$, $O$ et $O'$ ne sont pas alignés. La proposition c) est fausse.

    Soit $M$ un point du plan dont l'affixe est notée $z$.

    $$M'=M\Leftrightarrow z'=z\Leftrightarrow -iz-2i=z\Leftrightarrow(1+i)z=-2i.$$

    Cette équation du premier degré admet exactement une solution et donc la réponse d) est fausse. On peut noter que

    \begin{align*} M'=M&\Leftrightarrow z'=z\Leftrightarrow -iz-2i=z\Leftrightarrow(1+i)z=-2i\Leftrightarrow z=\dfrac{-2i}{1+i}\Leftrightarrow z=\dfrac{-2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}\Leftrightarrow z=\dfrac{-2i-2}{1^2+1^2}\\ &\Leftrightarrow z=-1-i\Leftrightarrow z=\omega. \end{align*}

    Donc $f$ admet exactement un point invariant à savoir le point $\Omega$.

    Il ne reste que la réponse a) qui est donc la bonne réponse. Vérifions-le explicitement.

    Soient $M_1$ et $M$ deux points du plan dont les affixes sont respectivement notées $z_1$ et $z$.

    \begin{align*} M'=m_1&\Leftrightarrow z'=z_1 \Leftrightarrow -iz-2i=z_1\Leftrightarrow -iz=z_1+2i\\ &\Leftrightarrow z=\dfrac{z_1+2i}{-i}. \end{align*}

    Ainsi, pour chaque point $M_1$, il existe exactement un point $M$ tel que $M'=M_1$ à savoir le point $M$ d'affixe $\dfrac{z_1+2i}{-i}$.


  3. Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$.
    $M\in(F)\lra|z-1+i|=|z+1+2i|\lra |z-z_A|=|z-z_C|\lra AM=CM\lra M\in\text{med}[AC]$.

    La bonne réponse est la réponse c).


  4. Si $z$ est un nombre réel, alors $z+|z|^2$ est un nombre réel et puisque $7+i\notin\mathbb{R}$, on ne peut avoir $z+|z|^2=7+i$.
    La réponse b) est donc fausse.
    Ensuite, la partie imaginaire de $z+|z|^2$ est celle de $z$. Cette partie imaginaire doit être égale à celle de $7+i$ c'est-à-dire $1$. Donc les réponses c) et d) sont fausses. Il ne reste que la réponse a). Vérifions-le.

    Soit $z\in\mbc$. Posons $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels.

    $z+|z|^2=7+i\lra (x^2+y^2+x)+iy=7+i\lra\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+x=7\\ y=1 \end{array} \right.\lra\left\{ \begin{array}{l} y=1\\ x^2+x-6=0 \end{array} \right.$

    Le discriminant de l'équation $x^2+x-6=0$ est $\Delta=1^2-4\times(-6)=25$. Cette équation admet les deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-1+5}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{-1-5}{2}=-3$. L'ensemble des solutions de l'équation $z+|z|^2=7+i$ est $\{2+i,-3+i\}$.
    La réponse a) est donc effectivement correcte.