Rochambeau 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4

1. 1. $23\times(-2)+47\times1=-46+47=1$.

      Une solution particulière de $(E)$ est $(x_0,y_0)=(-2,1)$.

   
   
   2. La question précédente et le théorème de \textsc{Bézout} permettent d'affirmer que les entiers $23$ et $47$ sont premiers entre eux.

      Soit $(x,y)$ un couple d'entiers relatifs.

      $(x,y)$ solution de $(E)\Leftrightarrow 23x+47y=1\Leftrightarrow 23x+47y=23x_0+47y_0\Leftrightarrow 23(x-x_0)=47(y_0-y)$.

      Puisque l'entier $47$ divise l'entier $47(y_0-y)$, nécessairement l'entier $47$ divise l'entier $23(x-x_0)$.
      Puisque les entiers $23$ et $47$ sont premiers entre eux, l'entier $47$ divise l'entier $x-x_0$ d'après le théorème de \textsc{Gauss}.
      Donc, il existe un entier relatif $k$ tel que $x-x_0=47k$ ou encore $x=x_0+47k$.
      De même, il existe un entier $k'$ tel que $y_0-y=23k'$ ou encore $y=y_0-23k'$.

      Réciproquement, soient $k$ et $k'$ deux entiers relatifs puis $x=x_0+47k$ et $y=y_0-23k'$.

      \begin{align*} 23x+47y=1&\Leftrightarrow 23(x_0+47k)+47(y_0-23k')=1\Leftrightarrow 23x_0+47y_0+23\times47\times(k-k')=1\\ &\Leftrightarrow 23\times47\times(k-k')=0\Leftrightarrow k=k'. \end{align*}

      Les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(-2+47k,1-23k)$, $k\in\mbz$.

   
   
   3. Soit $x$ un entier relatif. Si $23x\equiv1\;(47)$ alors il existe un entier relatif $y$ tel que $23x+47y=1$ puis, d'après la question précédente, il existe un entier relatif $k$ tel que $x=-2+47k$.

      Réciproquement, s'il existe un entier relatif $k$ tel que $x=-2+47k$, alors $23x=-46+23\times47k$ et donc $23x\equiv-46\;(47)$ ou encore $23x\equiv1\;(47)$.

      En résumé, $23x\equiv1\;(47)$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $x=-2+47k$.

      Soient $k$ un entier relatif puis $x=-2+47k$.

      $1\leqslant x\leqslant46\Leftrightarrow 1\leqslant -2+47k\leqslant46\Leftrightarrow 3\leqslant47k\leqslant48\Leftrightarrow \dfrac{3}{48}\leqslant k\leqslant\dfrac{48}{47}\Leftrightarrow k=1$.

      Pour $k=1$, on obtient $x=45$ qui est bien dans $A$. Ainsi, il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x\equiv1\;(47)$ à savoir

      $x=45$.



2. 1. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $ab\equiv0\;(47)$. Supposons que $a\not\equiv0\;(47)$ et montrons que $b\equiv0\;(47)$ ou encore supposons que $a$ ne soit pas divisible par $47$ et montrons que $b$ est divisible par $47$.

      $\sqrt{47}=6,\ldots$ et les nombres premiers inférieurs à $\sqrt{47}$ sont $2$, $3$ et $5$. $47$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$.
      Ainsi, $47$ n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée et donc $47$ est un nombre premier.

      Puisque $a$ n'est pas divisible par $47$ et que $47$ est premier, $a$ est premier à $47$. Puisque $47$ divise $ab$ et est premier à $a$, le théorème de \textsc{Gauss} permet d'affirmer que $47$ divise $b$ ou encore que $b\equiv0\;(47)$.

      si $ab\equiv0\;(47)$ alors $a\equiv0\;(47)$ ou $b\equiv0\;(47)$.

   
   
   2. Soit $a$ un entier relatif. D'après la question précédente \begin{align*} a^2\equiv1\; (47)&\Leftrightarrow a^2-1\equiv0\;(47)\Leftrightarrow (a-1)(a+1)\equiv0\;(47)\Leftrightarrow a-1\equiv0\;(47)\;\text{ou}\;a+1\equiv0\;(47)\\ &\Leftrightarrow a\equiv1\;(47)\;\text{ou}\;a\equiv-1\;(47). \end{align*}

      si $a^2\equiv1\;(47)$ alors $a\equiv1\;(47)$ ou $a\equiv-1\;(47)$.



3. 1. Soit $p$ un élément de $A$. $p$ est un entier compris entre $1$ et $46$. Un diviseur commun à $p$ et $47$ est un diviseur de $47$ compris entre $1$ et $46$ et est donc égal à $1$ puisque $47$ est premier. Ainsi, les entiers $p$ et $47$ sont premiers entre eux.

      D'après le théorème de \textsc{Bézout}, il existe des entiers relatifs $q$ et $k$ tels que $pq+47k=1$. Pour cet entier relatif $q$, on a $p\times q\equiv1\;(47)$.

      pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p\times q\equiv1\;(47)$.

   
   
   2. Si $p=inv(p)$, alors $p\times p\equiv1\;(47)$ puis $p\equiv1\;(47)$ ou $p\equiv-1\;(47)$ ou encore $p\equiv1\;(47)$ ou $p\equiv46\;(47)$ d'après la question 2)b).

      Réciproquement, si $p\equiv1\;(47)$ ou $p\equiv46\;(47)$, on a $p=inv(p)$ car $1\times1\equiv1\;(47)$ et $(-1)\times(-1)\equiv1\;(47)$.

      Les entiers de $A$ qui sont congrus à $1$ ou $46$ modulo $47$ sont $1$ et $46$ et donc

      Les éléments de $A$ tels que $p=inv(p)$ sont $1$ et $46$.

   
   
   3. Vérifions tout d'abord que si $p$ et $p'$ sont deux éléments distincts de $A$, $inv(p)$ et $inv(p')$ sont distincts.

      Supposons par l'absurde que $p$ et $p'$ sont deux éléments distincts de $A$ tels que $inv(p)=inv(p')$. Alors les égalités $p\times inv(p)\equiv1\;(47)$ et $p'\times inv(p)\equiv1\;(47)$ fournissent $(p-p')\times inv(p)\equiv0\;(47)$ ou encore $47$ divise $(p-p')\times inv(p)$.
      Comme $inv(p)$ est compris entre $1$ et $46$, $inv(p)$ est premier à $47$ et le théorème de \text{Gauss} permet encore une fois d'affirmer que $47$ divise $p-p'$ ou encore $p\equiv p'\;(47)$. Enfin, comme $p$ et $p'$ sont compris entre $1$ et $46$, ceci impose $p=p'$. On aboutit à une contradiction.

      Donc, si $p\neq p'$ alors $inv(p)\neq inv(p')$. En particulier, un entier compris entre $2$ et $45$ a un inverse modulo $47$ qui est compris entre $2$ et $45$ (car $1=inv(1)$ et $46=inv(46)$).

      D'après ce qui précède, les $44$ entiers $p$ tels que $2\leqslant p\leqslant 45$ peuvent être regroupés deux par deux sous la forme $p\times inv(p)\equiv1\;(47)$. Il reste

      $1\times2\times\ldots\times45\times46\equiv1\times\underbrace{1\times\ldots\times1}_{22}\times(-1)\quad(47)$

      ou encore

      $46!\equiv-1\;(47)$.