Rochambeau 2009. Enseignement de spécialité

EXERCICE 4 (5 points)

Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1,46]$.

1. On considère l'équation $(E)$ : $23x+47y=1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
   1. Donner une solution particulière $(x_0,y_0)$ de $(E)$.
   2. Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)$ solutions de $(E)$.
   3. En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x\equiv1\;(47)$.


2. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
   1. Montrer que si $ab\equiv0\;(47)$ alors $a\equiv0\;(47)$ ou $b\equiv0\;(47)$.
   2. En déduire que si $a^2\equiv1\;(47)$ alors $a\equiv1\;(47)$ ou $a\equiv-1\;(47)$.


3. 1. Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p\times q\equiv1\;(47)$.

      Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe unique entier, noté $\text{inv}(p)$, appartenant à $A$ tel que $p\times\text{inv}(p)\equiv1\;(47)$.

      Par exemple, $\text{inv}(1)=1$ car $1\times 1\equiv1\;(47)$, $\text{inv}(2)=24$ car $2\times24\equiv1\;(47)$, $\text{inv}(3)=16$ car $3\times16\equiv1\;(47)$ \ldots

   2. Quels sont les entiers $p$ de $A$ vérifiant $p=\text{inv}(p)$ ?
   3. Montrer que $46!\equiv-1\;(47)$.