Antilles Guyane 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2

1. On note $(E)$ l'équation proposée. Le discriminant de cette équation est $\Delta=\left(-4\sqrt{3}\right)^2-4\times16=16\times3-4\times16=-16=(4i)^2$.

   L'équation $(E)$ admet donc deux solutions non réelles conjuguées à savoir $z_1=\dfrac{4\sqrt{3}-4i}{2}=2\sqrt{3}-2i$ et $z_2=\overline{z_1}=2\sqrt{3}+2i$.

   Les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2-4\sqrt{3}z+16=0$ sont $z_1=2\sqrt{3}-2i$ et $z_2=\overline{z_1}=2\sqrt{3}+2i$.



2. 1. $|a|=\left|2\sqrt{3}-2i\right|=\sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2+(-2)^2}=\sqrt{16}=4$ puis $a=4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)=4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=4e^{-i\frac{\pi}{6}}$,

      puis $b=\overline{a}=4e^{i\frac{\pi}{6}}$.

      $a=4e^{-i\frac{\pi}{6}}$ et $b=\overline{a}=4e^{i\frac{\pi}{6}}$.

   
   
   
   
   3. On a déjà $OA=|a|=4$ et $OB=|b|=4$. Ensuite, $AB=|b-a|=|4i|=4$. Donc $OA=OB=AB$ et

      le triangle $OAB$ est équilatéral.



3. 1. $d=e^{\frac{2i\pi}{3}}c=\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\times(-8i)=4i+4\sqrt{3}=4\sqrt{3}+4i$.

      $d=4\sqrt{3}+4i$.

   
   
   2. $|d|=|c|=8$ et $\text{arg}(d)=\text{arg}(c)+\dfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]$. Donc le point $D$ est un obtenu en faisant tourner le point $C$ autour de $O$ d'un angle de $\dfrac{2\pi}{3}$.


4. On a $b=2\sqrt{3}+2i$ et $d=4\sqrt{3}+4i$. Donc, $d=2b$ puis $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$. Puisque les vecteurs $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OD}$ sont colinéaires

   les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés.



5. Puisque $\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$, $B$ est le milieu du segment $[OD]$. Puisque le triangle $OAB$ est équilatéral, $BA=BO$.
   Par suite, le point $A$ est sur le cercle de centre $B$ passant par $O$ ou encore $A$ est sur le cercle de diamètre $[OD]$.
   On sait alors que

   le triangle $OAD$ est rectangle en $A$.