Antilles Guyane 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité 1 cm.

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $$z^2-4\sqrt{3}z+16=0.$$

   On donnera les solutions sous forme algébrique.



2. Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2i$ et $b=2\sqrt{3}+2i$.
   
   
   1. Ecrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
   
   
   2. Faire une figure et placer les points $A$ et $B$.
   
   
   3. Montrer que $OAB$ est un triangle équilatéral.


3. Soit $C$ le point d'affixe $c=-8i$ et $D$ le point d'affixe $d=e^{\frac{2i\pi}{3}}c$.
   
   
   1. Déterminer la forme algébrique de $d$
   
   
   2. Placer les points $C$ et $D$. On expliquera comment on a placé le point $D$.


4. Montrer que les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés.


5. Montrer que $OAD$ est un triangle rectangle.