Antilles Guyane 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

    1. $F(0)=\dint{0}{0}f(t)\;dt=0$.

      • Soit $x\in]0,4]$. Le graphique montre que la fonction $f$ est positive sur $[0,4]$. En particulier, pour tout réel $t\in[0,x]$, $f(t)\geqslant0$. Par positivité de l'intégrale on en déduit que $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;dt\geqslant0$. Ceci reste vrai pour $x=0$ car $F(0)=0$.

      • Soit $x\in[-3,0]$. Le graphique montre que la fonction $f$ est négative sur $[-3,0]$. En particulier, pour tout réel $t\in[x,0]$, $f(t)\leqslant0$. On en déduit que $\displaystyle\int_{x}^{0}f(t)\;dt\leqslant0$ puis que $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;dt=-\displaystyle\int_{x}^{0}f(t)\;dt\geqslant0$.

      En résumé,

      pour tout réel $x$ de $[-3,4]$, $F(x)\geqslant0$.


    3. La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0,4]$. Donc $F(4)$ est l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=4$.
      image/svg+xml− 1 − 2 − 3 − 4123456781234 − 1 − 2yx

      $F(4)$ est plus petit que l'aire du rectangle $OABC$ qui est égale à $4\times3=12$ et $F(4)$ est plus grand que l'aire du triangle $OAD$ qui est égale à $\dfrac{4\times3}{2}=6$. Donc

      $6\leqslant F(4)\leqslant12$.


    1. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[-3,8]$. On sait alors que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ ou encore $F$ est dérivable sur $[-3,8]$ et $F'=f$.

      $f$ est la dérivée de $F$.


    2. La fonction $f=F'$ est strictement négative sur $[-3,0[$, strictement positive sur $]0,4[$ et négative sur $]4,8]$. Donc la fonction $F$ est strictement décroissante sur $[-3,0]$, strictement croissante sur $[0,4]$ et strictement décroissante sur $[4,8]$.

  3. Les deux courbes représentées sont les graphes de fonctions décroissantes sur $[-3,0]$, croissantes sur $[0,4]$ et décroissantes sur $[4,8]$. La fonction représentée par la courbe A ne s'annule pas en $0$ contrairement à $F$ (d'après la question 1.a)). La courbe A ne peut donc représenter la fonction $F$. D'après la question 1.c), on a $6\leqslant F(4)\leqslant12$. La fonction représentée par la courbe B prend en $4$ une valeur inférieure à $5$. Donc, la courbe B ne peut représenter la fonction $F$. Finalement

    aucune des deux courbes ne peut représenter la fonction $F$.