Antilles Guyane 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (6 points) (commun à tous les candidats)


Partie A

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0\;;\;+\infty[$ par :

$g(x)=x-x\ln x$.
    1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

    2. On rappelle que $\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln t}{t}=0$.
      Démontrer que $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\ x>0}}x\ln x=0$ et en déduire la limite de de la fonction $g$ en $0$.

  2. Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0\;;\;+\infty[$ et que $g'(x)=-\ln x$.

  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $u_n=\dfrac{e^n}{n^n}$.

  1. Conjecturer, à l'aide de la calculatrice :

    1. le sens de variation de la suite $(u_n)$ ;

    2. la limite éventuelle de la suite $(u_n)$.

  2. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $v_n=\ln(u_n)$.

    1. Montrer que $v_n=n-n\ln n$.

    2. En utilisant la \textbf{Partie A}, déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$.

    3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

  3. Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.

  4. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.