Antilles Guyane 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4


Partie A

    1. Pour tout réel $x>0$, $g(x)=x(1-\ln x)$. $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(1-\ln x)=-\infty$. Comme $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty$, en multipliant on en déduit que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$.

      $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$.


    2. En posant $t\dfrac{1}{x}$ on obtient $$\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\x>0}}x\ln x=\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{t}\ln\left(\dfrac{1}{t}\right)=\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}-\dfrac{\ln t}{t}=0,$$

      d'après un théorème de croissances comparées.
      Ainsi, $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\x>0}}x\ln x=0$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\x>0}}x=0$. En soustrayant, on obtient $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\x>0}}g(x)=0$.

      $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow0\\x>0}}g(x)=0$.


  2. La fonction $x\mapsto x\ln x$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ et donc la fonction $g$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ en tant que différence de deux fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$. De plus, pour $x>0$,
    $g'(x)=1-\left(1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}\right)=1-\ln x-1=-\ln x$.

    Pour tout réel $x>0$, $g'(x)=-\ln x$.


  3. Par suite, pour $x\in]0,1[$, $g'(x)>0$ et pour $x\in]1,+\infty[$, $g'(x)< 0$ et donc la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$. On en déduit le tableau de variation de $g$.
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Partie B

  1. Donnons les premières valeurs de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.
    $n$ $u_n$
    $1$ $2,718\ldots$
    $2$ $1,847\ldots$
    $3$ $0,743\ldots$
    $4$ $0,213\ldots$
    $5$ $0,047\ldots$
    $6$ $0,008\ldots$
    1. Il semble que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ soit décroissante.

    2. Il semble que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0$.

    1. Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
      $v_n=\ln\left(\dfrac{e^n}{n^n}\right)=\ln\left(e^n\right)-\ln(n^n)=n\ln(e)-n\ln(n)=n-n\ln(n)$.

    2. Ainsi, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $v_n=g(n)$. On a vu à la question 3 de la partie A que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[1,+\infty[$. Si $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$, on a $1\leqslant n< n+1$ et donc $g(n)>g(n+1)$ ou encore $v_n>v_{n+1}$.

      Ainsi, pour tout entier naturel non nul, on a $v_n>v_{n+1}$ et donc

      la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement décroissante.


    3. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Par stricte croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$, on a $e^{v_n}>e^{v_{n+1}}$ ou encore $u_n>u_{n+1}$.

      Ainsi, pour tout entier naturel non nul, on a $u_n>u_{n+1}$ et donc

      la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est strictement décroissante.


  3. La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est décroissante et positive. Donc, pour tout entier naturel non nul $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_1$ ou encore pour tout entier naturel non nul $n$, $0\leqslant u_n\leqslant e$. Donc

    la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est bornée.


  4. Pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=e^{g(n)}$. Or $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}g(n)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$.

    Donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{X\rightarrow-\infty}e^X=0$.

    La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est convergente et $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=0$.