EXERCICE 2 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1 cm.
On note $i$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
On considère les points $A$, $B$, $C$ et $P$ d'affixes respectives :
$a=-2,\qquad b=2-2i\sqrt{3},\qquad c=3+3i\sqrt{3}\qquad\text{et}\qquad p=10$.
PARTIE A. Etude de la configuration
- Construction de la figure.
- Placer les points $A$ et $P$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
- Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$.
- Utiliser les cercles de centre $O$ et de rayons respectifs $4$ et $6$ pour construire les points $B$ et $C$.
- Démontrer que le triangle $BCP$ est équilatéral.
- Soit $Q$ le point d'affixe $q$ telle que $q=a+e^{\frac{i\pi}{3}}(c-a)$.
- Vérifier que $q=-4+4i\sqrt{3}$.
- Vérifier l'égalité $q=-2b$. Que peut-on en déduire pour les points $B$, $O$ et $Q$ ?
- Soit $R$ le symétrique de $C$ par rapport à $O$.
- Démontrer que les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CR)$ sont concourantes en $O$.
- Etablir que : $AP=BQ=CR$.
PARTIE B
On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par :
$f(M)=MA+MB+MC$.
- Calculer $f(O)$.
- Soit $M$ un point quelconque d'affixe $m$. Soit $N$ le point du plan d'affixe $n$ telle que
$$n=a+e^{i\frac{\pi}{3}}(m-a).$$
On admet que si $M\neq A$, le point $N$ est le point du plan tel que le triangle $AMN$ soit équilatéral direct et si
$M=A$, alors $N=A$.
Démontrer que : $MA=MN$ puis que $MC=NQ$.
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses,
sera prise en compte dans l'évaluation.
En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan, $f(M)\geqslant12$.