EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L'événement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg~est noté $V_n$, on note $p_n$ la probabilité de l'événement $V_n$.
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
- si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif ;
- si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire $p_1=1$.
- Calculer les probabilités des événements suivants :
- $A$ : \og les $2$-ième et $3$-ième sondages sont positifs \fg~;
- $B$ : \og les $2$-ième et $3$-ième sondages sont négatifs \fg.
- Calculer la probabilité $p_3$ pour que le $3$-ième sondage soit positif.
- $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé :
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- Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que $p_{n+1}=0,5p_n+0,1$.
- On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par : $u_n=p_n-0,2$.
- Démontrer que $u$ est une suite géométrique. En préciser le premier terme et la raison.
- Exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
- Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$, de la probabilité $p_n$.