Asie 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

    1. L'événement $A$ est l'événement $V_2\cap V_3$. Puisque $p_1=1$, on a $p(V_2)=0,6$ puis
      $p\left(V_2\cap V_3\right)=p(V_2)\times p_{V_2}(V_3)=0,6\times0,6=0,36$.

      $p\left(A\right)=0,36$.


    2. $p\left(\overline{V_2}\right)=1-p(V_2)=0,4$ puis
      $p\left(\overline{V_2}\cap\overline{V_3}\right)=p\left(\overline{V_2}\right)\times p_{\overline{V_2}}\left(\overline{V_3}\right)=0,4\times0,9=0,36$.

      $p\left(B\right)=0,36$.


  2. On a aussi $p\left(\overline{V_2}\cap V_3\right)=p\left(\overline{V_2}\right)\times p_{\overline{V_2}}(V_3)=p\left(\overline{V_2}\right)\times\left(1-p_{\overline{V_2}}\left(\overline{V_3}\right)\right)=0,4\times(1-0,9)=0,04$. Mais alors, d'après la formule des probabilités totales,
    $p_3=p\left(V_2\cap V_3\right)+p\left(\overline{V_2}\cap V_3\right)=0,36+0,04=0,4$.

    $p_3=0,4$.


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  4. Soit $n$ un entier naturel non nul. D'après la formule des probabilités totales, \begin{align*} p_{n+1}&=p(V_{n+1})=p\left(V_n\cap V_{n+1}\right)+p\left(\overline{V_n}\cap V_{n+1}\right)=p(V_n)\times p_{V_n}\left(V_{n+1}\right)+p\left(\overline{V_n}\right)\times p_{\overline{V_n}}(V_{n+1})\\ &=0,6p_n+0,1(1-p_n)=0,6p_n+0,1-0,1p_n=0,5p_n+0,1. \end{align*}

    1. Soit $n$ un entier naturel non nul.
      $u_{n+1}=p_{n+1}-0,2=0,5p_n-0,1=0,5(p_n-0,2)=0,5u_n$.

      Donc la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ est géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_1=p_1-0,2=0,8$.


    2. On en déduit que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=u_1\times q^{n-1}=0,8\times(0,5)^{n-1}$ puis que $$p_n=u_n+0,2=0,2+0,8\times(0,5)^{n-1}.$$

      Pour tout entier naturel non nul $n$, $p_n=0,2+0,8\times(0,5)^{n-1}$.


    3. Puisque $-1< 0,5< 1$, on a $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(0,5\right)^{n-1}=0$ puis,

      $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}p_n=0,2$.