Asie 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (7 points)} \textbf{(commun à tous les candidats)


L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction.

Partie A

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;;\;+\infty[$ par :

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
L'unité graphique est $1$ cm.

  1. Etude des limites
    1. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$.

    2. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

    3. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe $\mathscr{C}$ ?

  2. Etude des variations de la fonction $f$
    1. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par :
      $f'(x)=-\dfrac{1}{x^4}e^{\frac{1}{x}}(2x+1)$.

    2. Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]0\;;\;+\infty[$.

    3. Démontrer que l'équation $f(x)=2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0\;;\;+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième.

  3. Tracer la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

Partie B Etude d'une suite d'intégrales

Pour tout entier naturel $n\geqslant2$, on considère l'intégrale $I_n$ définie par :

$I_n=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x^n}e^{\frac{1}{x}}\;dx$.
  1. Calculer $I_2$.

  2. Une relation de récurrence
    1. Pour tout entier naturel non nul $n$ et tout réel $x$ de $[1;2]$, on pose : $f_n(x)=\dfrac{1}{x^n}e^{\frac{1}{x}}$.
      Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant2$ et tout réel $x$ de $[1;2]$, $$f_{n-1}'(x)=-(n-1)f_n(x)-f_{n+1}(x).$$

    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant2$ :
      $I_{n+1}=e-\dfrac{\sqrt{e}}{2^{n-1}}+(1-n)I_n$.

    3. Calculer $I_3$.

  3. Etude de la limite de la suite de terme général $I_n$
    1. Etablir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1\;;\;2]$, on a :
      $0\leqslant\dfrac{1}{x^n}e^{\frac{1}{x}}\leqslant\dfrac{e}{x^n}$.

    2. En déduire un encadrement de $I_n$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $(I_n)$.