2010CentresEtrangersSpecifique

EXERCICE 2

Soient $z$ un nombre complexe distinct de $-1$ puis $M$ le point d'affixe $z$. \begin{align*} M'=M&\Leftrightarrow\dfrac{iz}{z+1}=z\Leftrightarrow iz=z^2+z\Leftrightarrow z^2+(1-i)z=0\Leftrightarrow z(z+1-i)=0\\ &\Leftrightarrow z=0\;\text{ou}\;z=-1+i. \end{align*}
Les points $M$ tels que $M'=M$ sont les points d'affixes $0$ et $-1+i$.

Soit $M$ un point distinct de $A$ et de $O$. Soit $z$ l'affixe du point $M$. On a donc $z\neq 0$ et $z\neq a$ puis $OM'=|z'|=\left|\dfrac{iz}{z+1}\right|=\dfrac{|i|\times|z|}{|z-a|}=\dfrac{1\times OM}{AM}=\dfrac{OM}{AM}$,
puis
\begin{align*} \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}\right)&=\text{arg}(z')=\text{arg}\left(\dfrac{z}{z+1}\times i\right)=\text{arg}(z)-\text{arg}(z-a)+\text{arg}(i)\\ &=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\ &=\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM}\right)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\ &=\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{OM}\right)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\ &=\left(-\overrightarrow{MA},-\overrightarrow{MO}\right)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\\ &=\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MO}\right)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]. \end{align*}
Pour tout point $M$ distinct de $A$ et de $O$, $OM'=\dfrac{OM}{AM}$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}\right)=\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MO}\right)+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.

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2. $b'=\dfrac{i\left(-\dfrac{1}{2}+i\right)}{-\dfrac{1}{2}+i+1}=\dfrac{-1-\dfrac{1}{2}i}{\dfrac{1}{2}+i}=\dfrac{-2-i}{1+2i}=\dfrac{(-2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{-2+4i-i-2}{1^2+2^2}=\dfrac{-4+3i}{5}$.
  $b'=\dfrac{-4+3i}{5}$.
  $OB'=|b'|=\dfrac{1}{5}|-4+3i|=\dfrac{1}{5}\sqrt{(-4)^2+3^2}=\dfrac{\sqrt{25}}{5}=1$ et donc $B'$ appartient au cercle $(\mathscr{C})$. *****************************************
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3. Soit $M$ un point de la médiatrice du segment $[OA]$. Alors, $OM'=\dfrac{OM}{AM}=1$ et donc $M'$ appartient au cercle $(\mathscr{C})$.
4. Le point $C$ est à égale distance des points $O$ et $A$. Donc le point $C$ appartient à la droite $(\Delta)$ puis, d'après la question précédente, le point $C'$ appartient au cercle $(\mathscr{C})$.
  D'autre part, d'après la question 2), $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OC'}\right)=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CO}\right)+\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}\;[2\pi]$. On en déduit que le point $C'$ est le point du cercle $(\mathscr{C})$ d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ et d'abscisse strictement positive.
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1. Soit $M$ un point distinct de $O$ et de $A$. \begin{align*} z'&=\dfrac{iz}{z+1}=\dfrac{i(x+iy)}{x+iy+1}=\dfrac{-y+ix}{(x+1)+iy}=\dfrac{(-y+ix)((x+1)-iy)}{((x+1)+iy)((x+1)-iy)}\\ &=\dfrac{-y(x+1)+iy^2+ix(x+1)+xy}{(x+1)^2+y^2}=\dfrac{-y+i(x^2+y^2+x)}{(x+1)^2+y^2}. \end{align*}
  Donc $\text{Im}(z')=\dfrac{x^2+y^2+x}{(x+1)^2+y^2}$. Par suite,
  $M\in(\Gamma)\Leftrightarrow z\neq0\;\text{et}\;z\neq-1\;\text{et}\;\text{Im}(z')=0\Leftrightarrow(x,y)\neq(0,0)\;\text{et}\;(x,y)\neq(-1,0)\;\text{et}\;x^2+y^2+x=0$.
  Maintenant, $x^2+y^2+x=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{1}{4}$. $(\Gamma)$ est donc le cercle de centre $\Omega\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ privé des points $O$ et $A$ (en notant que les points $O$ et $A$ appartiennent effectivement au cercle d'équation $x^2+y^2+x=0$) ou encore $(\Gamma)$ est le cercle de diamètre $[OA]$ privé des points $O$ et $A$.
  
  $(\Gamma)$ est le cercle de diamètre $[OA]$ privé des points $O$ et $A$.
2. Soit $M$ un point du plan. D'après la question 2, \begin{align*} M\in(\Gamma)&\Leftrightarrow M\neq O\;\text{et}\;M\neq A\;\text{et}\;\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}\right)=0\;[\pi]\Leftrightarrow M\neq O\;\text{et}\;M\neq A\;\text{et}\;\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MO}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\\ &\Leftrightarrow M\neq O\;\text{et}\;M\neq A\;\text{et}\;OAM\;\text{rectangle en}\;M\\ &\Leftrightarrow M\;\text{appartient au cercle de diamètre}\;[OA]\;\text{privé de}\;O\;\text{et de}\;A. \end{align*}
  On retrouve ainsi le résultat précédent.
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Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2