Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (5 points) (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Dans le plan complexe $(\mathscr{P})$ muni d'un repère orthonormal direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 4 cm, on considère le point $A$ d'affixe $a=-1$ et l'application $f$, du plan $(\mathscr{P})$ dans lui-même, qui au point $M$ d'affixe $z$, distinct de $A$, associe le point $M'=f(M)$ d'affixe $z'$ tel que :

$z'=\dfrac{iz}{z+1}$.
  1. Déterminer l'affixe des points $M$ tels que $M'=M$.

  2. Démontrer que pour tout point $M$ distinct de $A$ et de $O$, on a :
    $OM'=\dfrac{OM}{AM}$ et $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM'}\right)=\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MO}\right)+\dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près.

    1. Soit $B$ le point d'affixe $b=-\dfrac{1}{2}+i$.

      Placer dans le repère le point $B$ et la médiatrice $(\Delta)$ du segment $[OA]$.

    2. Calculer sous forme algébrique l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point $B$ par $f$.
      Etablir que $B'$ appartient au cercle $(\mathscr{C})$ de centre $O$ et de rayon $1$.
      Placer le point $B'$ et tracer le cercle $(\mathscr{C})$ dans le repère.

    3. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point $M$ appartient à la médiatrice $(\Delta)$, son image $M'$ par $f$ appartient au cercle $(\mathscr{C})$.

    4. Soit $C$ le point tel que le triangle $OAC$ soit équilatéral direct.
      En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point $C$ par $f$ (on laissera apparent les traits de construction.)

  4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ distincts de $A$ et de $O$ dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses.

    Les question a) et b) peuvent être traitées de façon indépendante.

    1. On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,y)\neq(-1,0)$ et $(x,y)\neq(0,0)$.
      Démontrer que la partie imaginaire de $z'$ est égale à :
      $\text{Im}(z')=\dfrac{x^2+y^2+x}{(x+1)^2+y^2}$.

      En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(\Gamma)$ et le tracer dans le repère.


    2. A l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble $(\Gamma)$.