Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les candidats)

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Question 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les droites $(\mathscr{D}_1)$ et $(\mathscr{D}_2)$ de représentations paramétriques :

$(\mathscr{D}_1)$ $\left[ \begin{array}{l} x=-1+2t\\ y=-3t\\ z=1+t \end{array} \right.$ $(t\in\mathbb{R})$\quad et \quad$(\mathscr{D}_2)$ $\left[ \begin{array}{l} x=1-2t\\ y=5-t\\ z=-2+t \end{array} \right.$ $(t\in\mathbb{R})$.

Affirmation :

Les droites $(\mathscr{D}_1)$ et $(\mathscr{D}_2)$ sont orthogonales.


Question 2

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère le point $A$ de coordonnées $(2\;;\;-1\;;\;3)$ et la droite $(\mathscr{D})$ de représentation paramétrique :

$(\mathscr{D})$ $\left[ \begin{array}{l} x=1+4t\\ y=-2+2t\\ z=3-2t \end{array} \right.$ $(t\in\mathbb{R})$.

Affirmation :

Le plan $(\mathscr{P})$ contenant le point $A$ et orthogonal à la droite $(\mathscr{D})$ a pour équation : $2x+y-z=0$.


Question 3

La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\nombre{\lambda=0,0003}$.
On rappelle que, pour tout $t\geqslant0$, $p(X\leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx$.

Affirmation :

La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à $\nombre{2000}$ heures est inférieure à $0,5$.


Question 4

$A$ et $B$ sont deux événements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient :

$p(A)=0,4$,\quad$p_A(B)=0,7$\quad et\quad$p_{\overline{A}}(\overline{B})=0,1$.

Affirmation :

La probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$.