Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 1

  1. VRAI

  2. VRAI

  3. FAUX

  4. VRAI

Question 1.Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_1$ est le vecteur $\overrightarrow{u_1}$ de coordonnées $(2,-3,1)$ et un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_2$ est le vecteur $\overrightarrow{u_2}$ de coordonnées $(-2,-1,1)$. De plus,

$\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=2\times(-2)+(-3)\times(-1)+1\times1=-4+3+1=0$.

Puisque les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ sont orthogonaux, les droites $(\mathscr{D}_1)$ et $(\mathscr{D}_2)$ sont orthogonales. La proposition 1 est donc vraie.


Question 2. Un vecteur normal au plan $(\mathscr{P})$ est un vecteur directeur de $(\mathscr{D})$ à savoir le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $(4,2,-2)$. Une équation du plan $(\mathscr{P})$ est donc $4(x-2)+2(y+1)-2(z-3)=0$ ou encore $4xx+2y-2z=0$ ou enfin $2x+y-z=0$. Donc la proposition 2 est vraie.


Question 3. Pour $t\in\mbr$,

$p(X\leqslant t)=\dint{0}{t}\lambda e^{-\lambda x}\;dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1-e^{-\lambda t}=1-e^{-0,0003t}$.

La probabilité demandée est $p(X>2000)$. Or

$p(X>2000)=1-p(X\leqslant 2000)=1-(1-e^{-0,0003\times2000})=e^{-0,6}=0,54\ldots$.

Donc la proposition 3 est fausse.


Question 4. On a $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$. D'une part, $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0,4\times0,7=0,28$. D'autre part, d'après la formule des probabilités totales

$p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)=0,28+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)=0,28+(1-0,4)(1-0,1)=0,28+0,54=0,82$.

Donc, $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,28}{0,82}=\dfrac{28}{82}=\dfrac{14}{41}$. La proposition 4 est vraie.