Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 (6 points) (commun à tous les candidats)

On considère les deux courbes $(\mathscr{C}_1)$ et $(\mathscr{C}_2)$ d'équations respectives $y=e^x$ et $y=-x^2-1$ dans un repère orthogonal du plan.
Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe une unique tangente $\mathscr{T}$ commune à ces deux courbes.

1. Sur le graphique représenté dans l'annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l'aide d'une règle.
   Lire graphiquement l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $(\mathscr{C}_1)$ et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $(\mathscr{C}_2)$.


2. On désigne par $a$ et $b$ deux réels quelconques, par $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $(\mathscr{C}_1)$ et par $B$ le point d'abscisse $b$ de la courbe $(\mathscr{C}_2)$.
   
   
   1. Déterminer une équation de la tangente $(\mathscr{T}_A)$ à la courbe $(\mathscr{C}_1)$ au point $A$.
   
   
   2. Déterminer une équation de la tangente $(\mathscr{T}_B)$ à la courbe $(\mathscr{C}_2)$ au point $B$.
   
   
   3. En déduire que les droites $(\mathscr{T}_A)$ et $(\mathscr{T}_B)$ sont confondues si et seulement si les réels $a$ et $b$ sont solutions du système $(S)$ :
   $\left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ e^a-ae^a=b^2-1 \end{array} \right.$.
   
   4. Montrer que le système $(S)$ est équivalent au système $(S')$ : $\left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ e^{2a}+4ae^a-4e^a-4=0 \end{array} \right.$.


3. Le but de cette question est de prouver qu'il existe un unique réel solution de l'équation $(E)$ : $e^{2x}+4xe^x-4e^x-4=0$.

   Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $f(x)=e^{2x}+4xe^x-4e^x-4$.
   1. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty\;;\;0[$, $e^{2x}-4< 0$ et $4e^x(x-1)< 0$.
   
   
   2. En déduire que l'équation $(E)$ n'a pas de solution dans l'intervalle $]-\infty\;;\;0[$.
   
   
   3. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
   
   
   4. Démontrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
      On note $a$ cette solution. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $a$.


4. On prend pour $A$ le point d'abscisse $a$. Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$ pour lesquels les droites $(\mathscr{T}_A)$ et $(\mathscr{T}_B)$ sont confondues.