Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1. Tracé de la tangente commune

   L'abscisse du point de contact de cette tangente avec $(\mathscr{C}_1)$ vaut environ $0,9$ et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec $(\mathscr{C}_2)$ vaut environ $-1,2$.



2. 1. On note $g$ la fonction $x\mapsto e^x$ et $h$ la fonction $x\mapsto-x^2-1$.
      Une équation de la tangente $\left(\mathscr{T}_A\right)$ est $y=g'(a)(x-a)+g(a)$ ou encore $y=e^a(x-a)+e^a$ ou enfin $y=e^ax+e^a-ae^a$.

      Une équation cartésienne de la tangente $\left(\mathscr{T}_A\right)$ est $y=e^ax+e^a-ae^a$.

   
   
   2. Une équation de la tangente $\left(\mathscr{T}_B\right)$ est $y=h'(b)(x-b)+h(b)$ ou encore $y=(-2b)(x-b)-b^2-1$ ou enfin $y=-2bx+b^2-1$.

      Une équation cartésienne de la tangente $\left(\mathscr{T}_B\right)$ est $y=-2bx+b^2-1$.

   
   
   3. Les droites $(\mathscr{T}_A)$ et $(\mathscr{T}_B)$ sont confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine. Ces dernières conditions sont équivalentes au système $$\left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ e^a-ae^a=b^2-1 \end{array} \right..$$
   
   
   4. 
      \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ e^a-ae^a=b^2-1 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ e^a-ae^a=\left(-\dfrac{e^a}{2}\right)^2-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ 4e^a-4ae^a=e^{2a}-4 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} e^a=-2b\\ e^{2a}+4ae^a-4e^a-4=0 \end{array} \right.. \end{align*}


3. 1. Soit $x$ un réel de $]-\infty,0[$. Alors $2x< 0$ puis $e^{2x}< 1$ puis $e^{2x}-4< -3$ et en particulier $e^{2x}-4< 0$. D'autre part, puisque $x-1< 0$ et $4e^x>0$, on a $4e^x(x-1)< 0$.
   
   
   2. Mais alors $f(x)=(e^{2x}-4)+4e^x(x-1)< 0$. En particulier, pour tout réel $x$ de $]-\infty,0[$, $f(x)\neq0$ et donc

      l'équation $(E)$ n'a pas de solution dans l'intervalle $]-\infty,0[$.

   
   
   3. La fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0,+\infty[$ et pour $x\geqslant0$, $f'(x)=2e^{2x}+4e^x+4xe^x-4e^x=2e^{2x}+4xe^x$.

      Par suite, pour tout réel $x\geqslant0$, $f'(x)\geqslant e^{2x}$ et en particulier $f'(x)>0$. On a montré que

      la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

   
   
   4. $f(0)=e^0+0-4e^0-4=-7$. D'autre part, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{2x}=\displaystyle\lim_{X\rightarrow+\infty}e^X=+\infty$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(e^{2x}-4)=+\infty$. Mais on a aussi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}4e^x(x-1)=+\infty$. En additionnant, on obtient $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty.$$

      Maintenant, la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ et on sait que pour tout réel $k$ de $[f(0),\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)[=[-7,+\infty[$, l'équation $f(x)=k$ admet une solution et une seule dans $[0,+\infty[$. En particulier, comme $0$ appartient à $[-7,+\infty[$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[0,+\infty[$.

      La machine fournit $f(0,84)=-0,1\ldots< 0$ et $f(0,85)=0,07\ldots>0$ Par suite, $f(0,84)< f(a)< f(0,85)$ et puisque $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$, on a montré que

      $0,84< a< 0,85$.



4. D'après la question 2)b), $b=-\dfrac{e^a}{2}$. Or, $$0,84< a< 0,85\Rightarrow e^{0,84}< e^{a}< e^{0,85}\Rightarrow-\dfrac{e^{0,85}}{2}< -\dfrac{e^a}{2}< -\dfrac{e^{0,84}}{2}\Rightarrow-\dfrac{e^{0,85}}{2}< b< -\dfrac{e^{0,84}}{2}.$$

   Maintenant, la machine fournit $-\dfrac{e^{0,85}}{2}=-1,16\ldots$ et $-\dfrac{e^{0,84}}{2}=-1,15\ldots$ On en déduit que

   $-1,2< b< -1,1$.