Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (commun à tous les candidats)

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$ par :

Le but de cet exercice est d'étudier des suites $(u_n)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_0$ et vérifiant pour tout entier naturel $n$ :

1. Etude des propriétés de la fonction $f$
   
   1. Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
   
   
   2. Résoudre dans l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$ l'équation $f(x)=x$.
      On note $\alpha$ la solution.
   
   
   3. Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0\;;\;\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0\;;\;\alpha]$.
      De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha\;;\;+\infty[$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha\;;\;+\infty[$.


2. Etude de la suite $(u_n)$ pour $u_0=0$

   Dans cette question, on considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :

   $u_{n+1}=f(u_n)=6-\dfrac{5}{u_n+1}$.
   1. Sur le graphique représenté dans l'annexe 2, sont représentées les courbes d'équations $y=x$ et $y=f(x)$.
      Placer le point $A_0$ de coordonnées $(u_0\;;\;0)$ et, en utilisant ces courbes, construire à partir du point $A_0$ les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
      Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite $(u_n)$ ?
   
   
   2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha$.
   
   
   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.


3. Etude des suites $(u_n)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_0$

   Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $(u_n)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_0$ ?