Centres étrangers 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 4

1. Etude des propriétés de la fonction $f$
   
   1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ en tant qu'inverse sur d'une fonction dérivable sur $[0,+\infty[$ et ne s'annulant sur $[0,+\infty[$. De plus, pour $x\geqslant0$, $f'(x)=0-5\times\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)=\dfrac{5}{(x+1)^2}$.

      La dérivée de $f$ est strictement positive sur $[0,+\infty[$ et donc $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

   
   
   2. Soit $x\in[0,+\infty[$. $f(x)=x\Leftrightarrow6-\dfrac{5}{x+1}=x\Leftrightarrow x-6+\dfrac{5}{x+1}=0\Leftrightarrow\dfrac{(x-6)(x+1)+5}{x+1}=0\Leftrightarrow x^2-5x-1=0.$

      Le discriminant du trinôme $x^2-5x-1$ est $\Delta=(-5)^2-4\times(-1)=29$. L'équation $x^2-5x-1=0$ admet donc deux solutions à savoir $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$ et $\beta=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}$. $\beta$ est strictement négatif (car $\sqrt{29}>\sqrt{25}=5$) et $\alpha$ est strictement positif. Donc

      l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution dans $[0,+\infty[$, le nombre $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$.

   
   
   3. Soit $x\in[0,\alpha]$. Puisque $0\leqslant x\leqslant\alpha$ et que $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$, on a $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(\alpha)$ ou encore $1\leqslant f(x)\leqslant \alpha$ et en particulier $0\leqslant f(x)\leqslant \alpha$.
      De même, si $x\geqslant \alpha$, alors $f(x)\geqslant f(\alpha)=\alpha$.

      Si $x\in[0,\alpha]$, alors $f(x)\in[0,\alpha]$ et si $x\in[\alpha,+\infty[$, alors $f(x)\in[\alpha,+\infty[$.



2. Etude de la suite $(u_n)$ pour $u_0=0$
   
   1. 
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      Il semble que la suite $(u_n)$ soit croissante, convergente de limite $\alpha$.

   
   
   2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \alpha$.
      
      
      • Puisque $u_0=0$, $u_1=f(u_0)=1$ et $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}=5,1\ldots$, ces inégalités sont vraies quand $n=0$.
      
      
      • Soit $n\geqslant0$. Supposons que $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha$. Puisque $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$, on en déduit que $f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(\alpha)$ ou encore $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant \alpha$ et en particulier $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant \alpha$.

      Le résultat est démontré par récurrence.

      Pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\alpha$.

   
   
   3. Ainsi, la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$. On en déduit que la suite $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite. $\ell$ est un réel positif et $\ell=\dlim{n}{+\infty}u_{n+1}=\dlim{n}{+\infty}\left(6-\dfrac{5}{u_n+1}\right)=6-\dfrac{5}{\ell+1}=f(\ell)$.

      Maintenant, $\alpha$ est l'unique solution dans $[0,+\infty[$ de l'équation $f(x)=x$ et donc $\ell=\alpha$.

      La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\alpha$.



3. Etude des suites $(u_n)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_0$

   1er cas. Supposons $0\leqslant u_0< \alpha$. Vérifiions tout d'abord que $u_1>u_0$.

   $u_1-u_0=6-\dfrac{5}{u_0+1}-u_0=\dfrac{(6-u_0)(u_0+1)-5}{u_0+1}=\dfrac{-u_0^2+5u_0+1}{u_0+1}=\dfrac{-(u_0-\alpha)(u_0-\beta)}{u_0+1}>0$ car $\beta< u_0< \alpha$.

   Ainsi, $u_1>u_0$. Mais alors, toute la démarche de la question précédente reste valable et de la même manière, on peut montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n

   Si $0\leqslant u_0< \alpha$, la suite $(u_n)_{n\in\mbn}$ est croissante et converge vers $\alpha$.

   
   

   2ème cas. Supposons $u_0>\alpha$. Alors $u_1-u_0=\dfrac{-(u_0-\alpha)(u_0-\beta)}{u_0+1}< 0$. Donc $u_1< u_0$. Puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur $[\alpha,+\infty[$, en adaptant la démarche de la question précédente, on peut montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\alpha< u_{n+1}< u_n$. Dans ce cas, la suite $(u_n)_{n\in\mbn}$ est strictement décroissante et est minorée par $\alpha$ et donc la suite $(u_n)_{n\in\mbn}$ converge vers l'unique solution positive de l'équation $f(x)=x$ c'est-à-dire converge vers $\alpha$.

   Si $u_0>\alpha$, la suite $(u_n)_{n\in\mbn}$ est décroissante et converge vers $\alpha$.

   
   

   3ème cas. Supposons $u_0=\alpha$. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\alpha$.

   • C'est vrai pour $n=0$.
   • Soit $n\geqslant 0$. Supposons que $u_n=\alpha$. Alors $u_{n+1}=f(u_n)=f(\alpha)=\alpha$.

   Le résultat est démontré par récurrence.

   Si $u_0=\alpha$, la suite $(u_n)_{n\in\mbn}$ est constante et en particulier converge vers $\alpha$.